圆锥曲线解题技巧和方法综合全 下载本文

依题意,记A??c, 0?,C??c?2 ,h???,E?x10, y0?,其中c?2|AB|为双

曲线的半焦距,h是梯形的高,由定比分点坐标公式得

?c?cx?2?????2?c?1?, y??h01??2??01??

设双曲线的方程为x2y2a2?b2?1,则离心率e?ca

由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和e?ca代入双曲线方程得 e2h24?b2?1, ①

e2?24???2????1??????????1?h?b2?1 ②

由①式得

h2e2b2?4?1, ③

将③式代入②式,整理得

e24?4?4???1?2?,

故 ??1?3e2?1

由题设23???34得,23?1?3e2?2?34

解得 7?e?10

所以双曲线的离心率的取值范围为?7 , 10?

分析:考虑AE,AC为焦半径,可用焦半径公式, AE,AC用E,C的横坐标表示,回避h的计算, 达到设而不求的解题策略. 解法二:建系同解法一,AE???a?exE?,AC?a?exC,

c?c?????2?cAE?2?xE?,又,代入整理??1?23,由题设?1??2???1?e?1AC1??23323? ???得,?1?2334e?24解得 7?e?10

7 , 10所以双曲线的离心率的取值范围为?5、判别式法

例3已知双曲线C:y?

x2直线l过点A??1,

222?2,0,斜率为k,当0?k?1时,

?双曲线的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为2,试求k的值及此时点B的坐标。

分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科,因此,数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手,对照草图,不难想到:过点B作与l平行的直线,必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式??0. 由此出发,可设计如下解题思路:

l:y?k(x?2)?0?k?1?

2

解题过程略.

直线l’在l的上方且到直线l的距离为

分析2:如果从代数推理的角度去思考,就应当把距离用代数式表达,

l’的方程代入双曲线方程,消去y,令判别式??0 即所谓“有且仅有一点把直线B到直线l的距离为2”,相当于化归的方程有唯

一解. 据此设计出如下解题思路: 问题 简解:设点x,2k2?x2)为双曲线C上支上任一点,则点M到直线l的kx?2?Mx(??2?0?k?1?有唯一关于x的方程k?1距离为: 转化为一元二次方程根的问题 22求解 于是,问题即可转化为如上关于x的方程. 由于0?k?1,所以2?x2?x?kx,从而有 于是关于x的方程???

由0?k?1可知:

方程?k?1?x?2k2(k?1)?2kx?2(k?1)?2k?2?0的二根同正,故

22222????2(k2?1)?2k?kx?0恒成立,于是???等价于

?k

2?1x2?2k2(k2?1)?2kx?????2(k2?1)?2k?2?0.

25. 5?2由如上关于x的方程有唯一解,得其判别式??0,就可解得 k?点评:上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换,充分体现了全局观念与整体思维的优越性.

例4已知椭圆C:x2?2y2?8和点P(4,1),过P作直线交椭圆于A、B两点,在线段AB上取点Q,使方程.

分析:这是一个轨迹问题,解题困难在于多动点的困扰,学生往往不知从何入手。其实,应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此,首先是选定参数,然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达,最后通过消参可达到解题的目的.

由于点Q(x,y)的变化是由直线AB的变化引起的,自然可选择直线AB的斜率k作为参数,如何将x,y与k联系起来?一方面利用点Q在直线AB上;另一方面就是运用题目条件:

APAQ??来转化.由A、B、P、Q四点共线,PBQBAPAQ??,求动点Q的轨迹所在曲线的PBQB不难得到x?4(x?xB)?2xAxB8?(xA?xB)A,要建立x与k的关系,只需将直线AB的方程代入

椭圆C的方程,利用韦达定理即可.

通过这样的分析,可以看出,虽然我们还没有开始解题,但对于如何解决本题,已经做到心中有数.

在得到x?f?k?之后,如果能够从整体上把握,认识到:所谓消参,目的不过是得到关于x,y的方程(不含k),则可由y?k(x?4)?1解得k?将直线方程代入椭圆方程,消去y,利用韦达定理 y?1,直x?4接代入x?f?k?即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。 AQ(x—4)+1,消去参数利用点ABAP的方程:Q(x,Qy)满足直线简解:设A?x1,y1?,B(x2,y2),,则由可得:4?x1?x?x1, ??y = k PBQBx2?4x2?x点Q的轨迹方程 解之得:x?4(x1?x2)?2x1x2 (1)

8?(x1?x2)设直线AB的方程为:y?k(x?4)?1,代入椭圆C的方程,消去y得出关于 x的一元二次方程:

?2k∴

2?1x2?4k(1?4k)x?2(1?4k)2?8?0 (2)

?4k(4k?1)?x1?x2?,??2k2?1 ?2?xx?2(1?4k)?8.12?2k2?1?代入(1),化简得:x?4k?3. (3)

k?2与y?k(x?4)?1联立,消去k得:?2x?y?4?(x?4)?0. 在(2)中,由???64k2?64k?24?0,解得 可求得

16?21016?210?x?.992?102?10?k?44,结合(3)

109?x?16?2109故知点Q的轨迹方程为:2x?y?4?0 (16?2).