第五节
指数与指数函数
1.了解指数函数模型的实际背景．
2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
知识点一 指数与指数幂的运算 1．根式 (1)根式的概念：
根式 如果________，那么x叫做a的n次方根 当n为奇数时，正数的n次方根是一个____数，负数的n次方根是一个____数 当n为偶数时，正数的n次方根有____个，它们互为______ (2)两个重要公式： ①(a)＝____(n>1，且n∈N＋)． ②a符号表示 备注 na n>1且n∈N＋ 零的n次方根是____ ±a(a>0) n______没有偶次方根 nnnn?? n为奇数，＝?
?|a| n为偶数.?
2．有理指数幂 (1)分数指数幂的含义： ①正分数指数幂
??an ＝ a? mn?a? ＝ ＝
②负分数指数幂 －
1
，
ma>0，m，n∈N＋，且为既约分数
n
amn ＝____(a>0，m，n∈N＋，且为既约分数)．
mn③0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂_____________． (2)有理指数幂的运算法则：
设a>0，b>0，对任意有理数α，β，有以下运算法则
aαaβ＝________，(aα)β＝________，(ab)α＝________.
上述有理指数幂的运算性质，对于无理指数幂也适用．
答案
1．(1)x＝a 正 负 零 两 相反数 负数 (2)①a ②a 2．(1)①a (a)
nnnmnam ②
1
m na
③0 没有意义
(2)aα＋β
aαβ
ab
αα
1．判断正误
44
(1)(－2)＝－2.( ) (2)a＝a.( ) 答案：(1)× (2)×
1 260
2．化简[(－2)] －(－1)的结果为( ) A．－9 C．－10
B．7 D．9
nn
11 22606
解析：[(－2)] －(－1)＝(2) －1＝8－1＝7. 答案：B
3．若x＋x＝3，则x－x＝________.
解析：由(x＋x)＝x＋x＋2＝9，得x＋x＝7.又(x－x)＝x－2＋x＝5，所以x－x＝±5，所以x－x＝(x＋x)(x－x)＝±35.
答案：±35
知识点二 指数函数的图象与性质
－1
2
－2
－1
－1
－12
2
－2
2
－2
－12
2
－2
－1
2
－2
y＝ax a>1 0
4．函数y＝
?1?x1－??的定义域为________． ?2?
?1?x?1?x解析：要使函数有意义，需1－??≥0，即??≤1，
?2??2?
∴x≥0，即定义域为[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) 5．函数y＝ax＋2 012
＋2 011(a>0且a≠1)的图象恒过定点________．
解析：∵y＝a(a>0且a≠1)恒过定点(0,1)，
x
∴y＝ax＋2 012
＋2 011恒过定点(－2 012，2 012)．
答案：(－2 012,2 012)
421 353
6．(2016·新课标全国卷Ⅲ)已知a＝2 ，b＝4 ，c＝25 ，则( ) A．b B．a 412111 335533 解析：因为a＝2 ＝16 ，b＝4 ＝16 ，c＝25 ，且幂函数y＝x 在R上单调递增，指数函数y＝16在R上单调递增，所以b 答案：A x 热点一 指数幂的运算 12－ ?16?4 ＋83 ＋ 【例1】 (1)计算：?? ?81? － 2 ； 33 11 － 22 － 22x ＋x ＋2 (2)若x ＋x ＝3，求的值． 2－2 x＋x＋3 12－ 32?4?4315???2?－123 【解】 (1)原式＝???? ＋(2) ＋|－2|＝??＋2＋2＝＋4＋2＝. 22??3???3?11 － 22－1 (2)由x ＋x ＝3，得x＋x＋2＝9， ∴x＋x＝7，∴x＋x＋2＝49，∴x＋x＝47. 33111 － － 222221318＋22∵x ＋x ＝(x ＋x－)－3(x ＋x )＝27－9＝18，∴原式＝＝. 247＋35【总结反思】 进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．需注意下列问题： (1)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示；(2)应用平方差、完全平方公式及aa＝1(a≠0)简化运算. p－p－1 2 －2 2 －2