大学物理学习题全解-赵近芳版 下载本文

设两场强之间的夹角为θ,合场强的平方为 E2?Er2?Er`2?2ErEr`cos??(根据余弦定理得

2 a2?r2?r`?2rr`co?s?(?, )所以 E??222)r(?r`?2rr`c?o,s )3?0?a, 3?0可见:空腔内任意点的电场是一个常量.还可以证明:场强的方向沿着O到O`的方向.因此空腔内的电场为匀强电场.

12.11 如图所示,在A、B两点处放有电量分别为+q和-q的点电荷,AB间距离为2R,现将另一正试验电荷q 0从O点经过半圆弧路径移到C点,求移动过程中电场力所做的功.

[解答]正负电荷在O点的电势的和为零:UO = 0; D 在C点产生的电势为 A O B q?q?q-q +q C , U???C4??03R4??0R6??0R图12.11

电场力将正电荷q 0从O移到C所做的功为

W = q0UOD = q0(UO-UD) = q0q/6πε0R.

12.12 真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面A和B.A平面的电荷面密度为2ζ,B平面的电荷面密度为ζ,两面间的距离为d.当点电荷q从A面移到B面时,电场力做的功为多少?

[解答]两平面产生的电场强度大小分别为 EA = 2ζ/2ε0 = ζ/ε0,EB = ζ/2ε0,

两平面在它们之间产生的场强方向相反,因此,总场强大小为 E = EA - EB = ζ/2ε0, 方向由A平面指向B平面.

两平面间的电势差为 U = Ed = ζd/2ε0,

当点电荷q从A面移到B面时,电场力做的功为 W = qU = qζd/2ε0.

12.13 一半径为R的均匀带电球面,带电量为Q.若规定该球面上电势值为零,则无限远处的电势为多少?

Q[解答]带电球面在外部产生的场强为 E?, 24??0r?Q由于 UR?U???E?dl??Edr??dr?24??r4??0r0RRRQ当UR = 0时,U???.

4??0R???Q??RQ4??0R,

12.14 电荷Q均匀地分布在半径为R的球体内,试证明离球心r(r

Q(3R2?r2). U?38??0R4Q3Q. ?R3,电荷的体密度为 ???3V4?R3?Q利用12.10题的方法可求球内外的电场强度大小为E?(r≦R); r?r,33?04??0RQ,(r≧R). E?24??0r[证明]球的体积为V?取无穷远处的电势为零,则r处的电势为

?R?U??E?dl??Edr??Edr??rrRrRQ4??0R3?rdr??RQ4??0r2dr?Q8??0R3Rr2r??Q4??0r?

RQ(3R2?r2). ??(R?r)?8??0R34??0R8??0R3Q22Q

12.15 在y = -b和y = b两个“无限大”平面间均匀充满电荷,电荷体密度为ρ,其他地方无电荷. (1)求此带电系统的电场分布,画E-y图;

(2)以y = 0作为零电势面,求电势分布,画E-y图.

E` E [解答]平板电荷产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面:E = E`,S0 但方向相反. S2 S1 b -b o (1)在板内取一底面积为S,高为2y的圆柱面作为高斯面,场强与上

下两表面的法线方向平等而与侧面垂直,通过高斯面的电通量为 y S2 S0 ?e?E?dS?E?dS?E?dS?E?dS?2ES.

SS1S2S0E` E S1 高斯面内的体积为 V = 2yS, b b 包含的电量为 q = ρV = 2ρSy, 根据高斯定理 Φe = q/ε0,

可得场强为 E = ρy/ε0, (-b≦y≦b).

穿过平板作一底面积为S,高为2y的圆柱形高斯面,通过高斯面的电通量仍为 Φe = 2ES, 高斯面在板内的体积为 V = S2b,包含的电量为 q = ρV = ρS2b, 根据高斯定理 Φe = q/ε0,

可得场强为 E = ρb/ε0, (b≦y); E = -ρb/ε0, (y≦-b ). E-y图如图所示.

(2)对于平面之间的点,电势为

?????y?y2U???E?dl???dy???C,

?02?0?y2在y = 0处U = 0,所以C = 0,因此电势为 U??,(-b≦y≦b).这是一条开口向下的抛物线.

2?0当y≧b时,电势为U??E?dl??nqbdy??nqby?C,

???0?0?b?b2在y = b处U = -ρb/2ε0,所以C = ρb/2ε0,因此电势为U??,(b≦y). y??02?02

2

当y≦-b时,电势为 U??E?dl???2

2

?b?bdy?y?C, ?0?0?b?b2在y = -b处U = -ρb/2ε0,所以C = ρd/2ε0,因此电势为 U?, y??02?0?b?b2两个公式综合得 U??,(|y|≧d). |y|??02?0这是两条直线.

U-y图如右图所示.U-y图的斜率就形成E-y图,在y = ±b点,电场强度是连续的,因此,在U-y图中两条直线与抛物线在y = ±b点相切.

-b E o U -b o b y b y

[注意]根据电场求电势时,如果无法确定零势点,可不加积分的上下限,但是要在积分之后加一个积分常量.根据其他关系确定常量,就能求出电势,不过,线积分前面要加一个负号,即

U???E?dl这是因为积分的起点位置是积分下限.

12.16 两块“无限大”平行带电板如图所示,A板带正电,B板带负电并接地(地的电势为零),设

A和B两板相隔5.0cm,板上各带电荷ζ=3.3×10-6C·m-2,求:

(1)在两板之间离A板1.0cm处P点的电势; (2)A板的电势.

[解答]两板之间的电场强度为 E=ζ/ε0,方向从A指向B.

以B板为原点建立坐标系,则rB = 0,rP = -0.04m,rA = -0.05m. (1)P点和B板间的电势差为

rBrBA P B 图12.16 UP?UB??E?dl??Edr?rPrP?(rB?rP), ?0A P B o r 由于UB = 0,所以P点的电势为

3.3?10?6UP??0.04=1.493×104(V). ?128.84?10(2)同理可得A板的电势为

UA??(rB?rA)=1.866×104(V). ?0y r P1 x

12.17 电量q均匀分布在长为2L的细直线上,试求: (1)带电直线延长线上离中点为r处的电势; (2)带电直线中垂线上离中点为r处的电势;

-L (3)由电势梯度算出上述两点的场强. [解答]电荷的线密度为λ = q/2L.

(1)建立坐标系,在细线上取一线元dl,所带的电量为dq = λdl, 根据点电荷的电势公式,它在P1点产生的电势为

dU1?o l dl L

1?dl4??0r?l

L???Ldl?ln(r?l)总电势为 U1??4??0?Lr?l4??0?l??Lq8??0Llnr?L. r?L(2)建立坐标系,在细线上取一线元dl,所带的电量为dq = λdl, 在线的垂直平分线上的P2点产生的电势为

dU2?积分得

?dl, 221/24??0(r?l)?U2?4??0?q?122?ln(r?l?l)dl221/2?4??0(r?l)?LLL

l??Ly P2 -L 8??0Llnr2?L2?Lr2?L2?L?q4??0Llnr2?L2?L.

r r o θ lxx dl L x (3)P1点的场强大小为

?Uq11q1E1??1?, ① (?)??r8??0Lr?Lr?L4??0r2?L2方向沿着x轴正向.

P2点的场强为

E2???U2qq1r?[?]??r4??0r4??0Lrr2?L2(r2?L2?L)1r?L22, ②

方向沿着y轴正向.

[讨论]习题12.3的解答已经计算了带电线的延长线上的场强为

E1?2L?,由于2Lλ = q,取x = r,就得公式①.

4??0x2?L2112L?222(2)习题12.3的解答还计算了中垂线上的场强为

Ey?4??0d2d?L取d2 = r,可得公式②.

由此可见,电场强度可用场强叠加原理计算,也可以用电势的关系计算.

12.18 如图所示,一个均匀带电,内、外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳,所带电荷体密度为ρ,试计算:

R2 (1)A,B两点的电势;

(2)利用电势梯度求A,B两点的场强.

B rB O R [解答](1)A点在球壳的空腔内,空腔内的电势处处相等,因此A点的电1r 势就等于球心O点的电势. A A在半径为r的球壳处取一厚度为dr的薄壳,其体积为 dV = 4πr2dr,

图12.18 包含的电量为 dq = ρdV = 4πρr2dr,

在球心处产生的电势为

dUO?dq4??0r??rdr, ?0R2 O 球心处的总电势为

R1 UO???0R2R1?rdr??2(R2?R12), 2?0r dr 这就是A点的电势UA.

过B点作一球面,B的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的.

球面外的电荷在B点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势,根据上面的推导可得

U1??2(R2?rB2). 2?0B R2 O rB 球面内的电荷在B点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在B点产生的电势.球壳在球面内的体积为

V?43?(rB?R13),包含的电量为 Q = ρV, 3 R1 这些电荷集中在球心时在B点产生的电势为

U2?Q4??0rB??3(rB?R13). 3?0rBR13?22B点的电势为UB = U1 + U2?(3R2?rB?2).

6?0rB(2)A点的场强为 EA???UA?0. ?rA?UBR13?B点的场强为EB???(rB?2).

?rB3?0rB[讨论] 过空腔中A点作一半径为r的同心球形高斯面,由于面内没有电荷,根据高斯定理,可得空

腔中A点场强为

E = 0, (r≦R1).

过球壳中B点作一半径为r的同心球形高斯面,面内球壳的体积为 V?包含的电量为 q = ρV,

4?(r3?R13), 3