1．针对下图所示的3个三角形元，写出用完整多项式描述的位移模式表达式。

2．如下图所示，求下列情况的带宽:

a) 4结点四边形元； b) 2结点线性杆元。

3．对上题图诸结点制定一种结点编号的方法，使所得带宽更小。图左下角的四边形在两种不同编号方式下，单元的带宽分别是多大？

4．下图所示，若单元是2结点线性杆单元，勾画出组装总刚后总刚空间轮廓线。系统的带宽是多大？按一右一左重新编号（即6变成3等）后，重复以上运算。

5． 设杆件1－2受轴向力作用，截面积为A，长度为L，弹性模量为E，试写出杆端力F1，F2与杆端位移u1,u2之间的关系式，并求出杆件的单元刚度矩阵[k](e)

1与○2所组成，试写出三个结点1、2、3的6．设阶梯形杆件由两个等截面杆件○

结点轴向力F1，F2，F3与结点轴向位移u1,u2,u3之间的整体刚度矩阵[K]。

7． 在上题的阶梯形杆件中，设结点3为固定端，结点1作用轴向载荷F1=P，求各结点的轴向位移和各杆的轴力。

8． 下图所示为平面桁架中的任一单元，x,y为局部坐标系，x，y为总体坐标系，x轴与x轴的夹角为?。

（1） 求在局部坐标系中的单元刚度矩阵 [k](e) （2） 求单元的坐标转换矩阵 [T]；

（3） 求在总体坐标系中的单元刚度矩阵 [k](e)

9．如图所示一个直角三角形桁架，已知E?3?107N/cm2，两个直角边长度

l?100cm，各杆截面面积A?10cm2，求整体刚度矩阵[K]。

10． 设上题中的桁架的支承情况和载荷情况如下图所示，按有限元素法求出各结点的位移与各杆的内力。

11． 进行结点编号时，如果把所有固定端处的结点编在最后，那么在引入边界条件时是否会更简便些？

12． 针对下图所示的3结点三角形单元，同一网格的两种不同的编号方式，单元的带宽分别是多大？

13． 下图所示一个矩形单元，边长分别为2a与2b，坐标原点取在单元中心。位移模式取为

u??1??2x??3y??4xyv??5??6x??7y??8xy

导出内部任一点位移u,v与四个角点位移之间的关系式。

14 桁架结构如图所示，设各杆EA/L均相等，单元及结点编号如图所示，试写出各单元的单刚矩阵[k]e。

15 图所示三杆桁架，节点1、节点3处固定，节点2处受力Fx2，Fy2，所有杆件材料相同，弹性模量为E，截面积均为A，求各杆内力。

16 对下图(a)中所示桁架结构分别采用图(b)、图(c)两种编节点号方式，求其刚度矩阵半带宽。

一般来讲，刚度矩阵的最大半带宽＝节点自由度数x(单元中节点最大编号差+1)。

按图(b)编号方式，最大半带宽为 SBMax＝2×(6－1＋1)＝12 按图(c)编号方式，最大半带宽为 SBMax＝2×（2＋1)＝6

17 如图所示为一个由两根杆组成的结构(二杆分别沿x,y方向)。结构参数为：E1＝E2＝2×106kg／cm2，A1=2A2=2cm2，试完成下列有限元分析。

(1)写出各单元的刚度矩阵。 (2)写出总刚度矩阵。 (3)求节点2的位移u2，v2 (4)求各单元的应力。 (5)求支反力。

18 单元的形状函数[N]具有什么特征

答案：其中的Ni在i结点Ni=1；在其他结点Ni=0及∑Ni=1

19 为了在位移模式中反映单元的常量应变和刚体位移项，在杆件单元、平面单元和空间单元中各应保存哪些幂次项？

20 将有限单元法的离散化结构与原结构相比，当采用低次幂函数作为位移模式时，其单元的刚度、整体的刚度是增加了还是减少了？

21 如何构造位移模式： 答案：构造位移模式，应考虑

(1)位栘模式中的参数数目必须与单元的结点位栘未知数数目相同； (2)位栘模式应满足收敛性的条件，特别是必须有反映单元的刚体位移项和常应变项的低幂次项的函数；

(3)在结点，必须使位栘函数在结点处的值与该点的结点位栘值相等．

22 利用平面固结单元刚度矩阵推导下图所示左瑞固定右瑞铰支的杆单元刚度矩阵．

23 一般的杆件结构有限单元法得到的解是近似解还是准确解，为什么？

24 设悬臂梁的自由端由刚度系数为k的弹簧支撑，在荷载P作用下，求图所示端点2的挠度和转角．

答案：

25 用有限单元法计算图所示平面刚架时

(1) 如何进行结点编号使整体刚度距阵[K]的带宽最小?

(2) 在结点编号确定后，按此顺序进行自由度编号，则A结点水平位移对应的主对角线项在[K]中的行列式位置是多少？ (3) 哪些单元对该项的数值有影响？ (4) 在[K]中该项以左哪些元素不等于零？

26在平面问题中，常常将原整体坐标系(x，y)中的四结点直边四边形或八结点曲边四边形等单元变换为局部坐标系(ξ,η)中的规则正方形，再建立位移模式，进行有限单元法分析，其坐标变换式和位移模式采用同样的形函数和相同的参数，因此这种单元称为等参数单元。

27 在平面三结点三角形单元中的位移、应变和应力具有什么特征?

答案：在平面三结点三角形单元中，位移呈线性变化，在公共边界上两单元位移协调；单元内的应变、应力为常量，但在公共边界上应变、应力均有突变现象．

28 在有限单元法中，当单元的尺寸逐步缩小时，单元中的位移、应变、应力有什么特征？

答案：当单元的尺寸非常小时，单元内的位移、应变、应力均趋近于常量．

29 试分析下列平面单元中的位移在两单元公共边界上的连续性： (1) 三结点三角形单元； (2) 四结点矩形单元； (3) 六结点三角形单元；

(4) 四结点直线四边形等参数单元； (5) 八结点曲线四边形等参数单元．

答案：在单元之间的公共边界上，上述单元的位移均保持连续．

30在有限单元法中，等参数单元的主要优点是什么?

答案：(1) 在原结构中可以采用不规则单元，易于适应边界面的形状和改变单元的大小；

(2) 将不规则单元变换为规则的母单元后，易于构造位移模式。

31 在有限单元法中，应用等参数单元时：

(1) 坐标变换的精度和位移模式的精度是否一样?

(2) 如何建立局部坐标系(ξ,η)与整体坐标系之间的关系? (3) 为什么要采用高斯积分公式?

(4) 高斯积分点的数目如何确定?

32 对于下图所示问题，用有限单元法分析时，应采用什么措施以提高分析的精度?

答案：(1) 采用高次位移模式的单元；(2)在孔口、支座处加密网格；(3)由于对称，取—半进行计算。

33 对于下图所示的六结点矩形单元，应取什么样的形状函致来表示位移模式?试写出位移模式，并检验是否满足收敛性条件。

答案：可取位移模式为

对于v，可写出同样形式的表达式． 其中

此位移满足了收敛性的条件；反映了单元的刚体位移项和常量应变项，并在单元之间边界上保持了位移的连续性

34 当单元采用线性位移模式时，试列出各单元的等效结点荷载列阵。

35 空间单元大致分哪几类，它们各自有什么优缺点? 答案：分三类：四面体单元、六面体单元和等参数单元。

优缺点：四面体单元以四结点12个自由度为例，其刚度矩阵最简单，能适应复杂结构几何外形，但因是常应变单元，故计算精度较差。

六面体单元形状规则，难以适应复杂的外形。 等参数单元计算精度高，又能适应复杂几何外形。

36 为什么在三角形单元中可以用面积坐标代替笛卡儿坐标?使用面积坐标有什么优点?是否类似四面体单元中可以采用体积坐标?

答案：因为面积坐标对三角形单元来说是自然坐标，就好像ξ,η坐标对于等参数四边形单元是自然坐标一样。当三角形单元的形状和位移由同样的面积坐标表示的形函数确定时，三角形单元实际上就是等参数单元，用面积坐标表示形函数，能方便地验证单元的协调性，四面体单元可以用体积坐标表示。

填空题

1. 总刚度矩阵有3个重要的性质: 、 、 。 ①对称性——关于主对角线对称； ⑦稀疏性——矩阵中有大量的零元素；

⑦带状分布——矩阵中非零元素在主对角线两仍呈带状分布。

2.单元的刚度矩阵和系统的总体刚度矩阵均是对称矩阵。且主对角线上元素均为正值。总体刚度矩阵是带状分布的稀疏矩阵．在未引入边界条件(约束)前是奇异的。

3. 总体刚度矩阵可以由单元刚度矩阵按节点编号叠加而成。

4. 总体刚度矩阵在计算机内的存储量的大小与最大半带宽有关，而最大半带宽由单元节点编号差所决定，因此，对系统编码时应注意尽量减小单元节点的最大编号差。

5. 对于同一对称面，加载荷是对称的，则位移的反对称分量为零；加载荷是反对称的，则位移的对称分量为零。

6. 为了随着单元尺寸的减小(单元数目增多),有限元计算结果能收敛于精确解，所选择的位移插值函数必须满足下列3个条件: ①位移插值函效应能反映单元的刚体位移；②位移插值函数应能反映常量应变 、③位移插值函数应能保证单元内及相邻单元间位移的连续性。条件①表明，位移函数中应包含有常数项，条件②表明，位移插值函数应包含一次项；条件③表明，位移插值函数应在单元内连续，在单元边界上其值应能由节点函数值惟一确定。

7. 三节点三角形单元，由于其位移插值函数是线性函数，因此称之为三角形常应变或常应力单元。其位移在单元内呈线性变化，应力、应变在单元内是一个常量，因此在求解区域内应力和应变的变化都是不连续的。

8. 采用线性位移插值函数的三角形单元的计算精度不高，为提高计算精度可以采取的方法有： 、 。

①单元分细； ②构造高精度新单元。

9. 等参数单元的特征是单元上位移插值函数的插值公式与坐标变换的表达式具

有完全相同的形式。

10. 为保证等参变换式在单元上能确定整体坐标与局部坐标间的一一对应关系，使等参数变换能真正施行，必须使雅可比行列式在整个单元上均不等于零。 11．构造等参数单元是以局部坐标为出发点，整个讨论和计算都是在局部坐标系中规则单元内进行的。最后在整体坐标下叠加各单元刚度矩阵求解。

12．等参数单元的优点是有较大的选择单元的自由，能很好地模拟曲线边界，计算精度高，这一点对复杂区域的求解时特别突出。

有限元法实质上是把具有无限个自由度的连续系统，理想化为只有有限个自由度的单元集合体，使问题转化为适合于数值求解的结构型问题。

几何方程是表述弹性体内一点的应变与位移之间关系的方程式。物理方程是描述应力与应变关系的方程。

由单元刚度矩阵叠加而成的总体刚度矩阵是一个奇异矩阵，原因是未对整个系统施加约束，而施加约束条件后的方程组则是有惟一解的。不改变矩阵阶次处理约束条件的方法有置大数法，即将方程组中对应给定位移a(包括a＝o)的第i行主对角线元素乘以一个足够大的数，如1015，该行的右端项乘以a*1015。

有限元列式的七个步骤：

① 写出节点的力向量和位移向量表达式： ② 构造合适的位移插值函数多项式表达式： ⑦ 写出具体的形状函数表达式：

⑦ 用矩阵形式写出单元应变与节点位移间的关系式： ⑤ 用矩阵形式写出单元应力与节点位移间的关系式： ⑥ 用矩阵形式写出节点力与节点位移间的关系式：