2013届高考数学考点讲解:考点13 三角函数的图像和性质(新课标解析版) 下载本文

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∵0????2,∴??6????6??3,∴???6??6,故???3.

【方法总结】1.用“五点法”作图应抓住四条:①将原函数化为y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω2π

>0)或y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式;②求出周期T=;③求出振幅A;④列出一

ω个周期内的五个特殊点,当画出某指定区间上的图象时,应列出该区间内的特殊点. π

2.y=Asin(ωx+φ)的图象有无穷多条对称轴,可由方程ωx+φ=kπ+(k∈Z)解出;它还有无

2kπ-φ

穷多个对称中心,它们是图象与x轴的交点,可由ωx+φ=kπ(k∈Z),解得x=(k∈Z),

ωkπ-φ

即其对称中心为(,0)(k∈Z).

ω

TT

3.相邻两对称轴间的距离为,相邻两对称中心间的距离也为.

22

4.根据y=Asin(ωx+φ)+k的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来考虑: 最高点-最低点

(1)A的确定:根据图象的最高点和最低点,即A=;

2最高点+最低点

(2)k的确定:根据图象的最高点和最低点,即k=;

22π

(3)ω的确定:结合图象,先求出周期T,然后由T=(ω>0)来确定ω;

ω

φ

(4)φ的确定:由函数y=Asin(ωx+φ)+k最开始与x轴的交点的横坐标为-(即令ωx+φ=

ωφ

0,x=-)确定φ.

ω

热点三 三角函数的最值

1.(2012年高考(湖南理))函数f(x)=sinx-cos(x+

?6)的值域为( )

A.[ -2 ,2] B.[-3,3] C.[-1,1 ] D.[-33 , ] 22

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2.(2012年高考(大纲理))当函数y?sinx?3cosx(0?x?2?)取得最大值时,

x?_______________.

3.(2012年高考(四川文))已知函数f(x)?cos2xxx1?sincos?. 2222(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和值域; (Ⅱ)若f(?)?32,求sin2?的值. 10

???A4. 2012年高考(山东理))已知向量m?(sinx,1),n?(3Acosx,cos2x)(A?0),函数

3???f(x)?m?n的最大值为6.

(Ⅰ)求A;

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?个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为1215?原来的倍,纵坐标不变,得到函数y?g(x)的图象.求g(x)在[0,]上的值域.

224(Ⅱ)将函数y?f(x)的图象向左平移

【方法总结】求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法:

(1)利用sin x、cos x的值域;

(2)形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域;

(3)换元法:把sin x或cos x看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.

热点三 三角函数的单调性

1.(2012年高考(新课标理))已知????0,函数f(x)?sin(?x?)在(,?)上单调递减.

42C.(0,]

则?的取值范围是( )

1524【答案】A

A.[,] B.[,]

132412D.(0,2]

【解析】??2?(?x??4)?[5?9?,] 不合题意 排除(D) 44第 7 页 共 38 页

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?3?5???1?(?x?)?[,] 合题意 排除(B)(C)

444?????3?)?????2,(?x?)?[??,???]?[,] 2424422????3?15得:???,????????

2424224另:?(???2.(2012年高考(天津理))已知函数f(x)=sin(2x+?3)+sin(2x??3)+2cos2x?1,x?R.

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求函数f(x)在区间[???44,]上的最大值和最小值.

3.(2012年高考(湖北文))设函数f(x)?sin2?x?23sin?xcos?x?cos2?x??(x?R)12的图像关于直线x??对称,其中?,?为常数,且??(,1) (1) 求函数f(x)的最小正周期; (2) 若y?f(x)的图像经过点(【解析】(1)因为

?4,0),求函数f(x)的值域.

f(x)?sin2?x?cos2?x?23sin?xcos?????cos2?x?3sin2?x???2sin(2?x?)??6 由直线x??是y?f(x)图像的一条对称轴,可得sin(2?x?所以2?x???6)??1

k1?(k?Z)

6223156?又??(,1),k?Z,所以k?1时,??,故f(x)的最小正周期是.

265?k??(k?Z),即??(2)由y?f(x)的图象过点(???,0),得f()?0

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