∴CF=AE=34+BE=（34+173）cm， 在Rt△AFD中，∠FAD=45°， ∴∠FDA=45°， ∴DF=AF=EC=51cm，
则CD=FC﹣FD=34+173﹣51=173﹣17， 答：CD的长度为173﹣17cm． 【点睛】
本题主要考查了在直角三角形中三角函数的应用，解本题的要点在于求出FC与FD的长度，即可求出答案.
20．（1）证明见解析；（2）【解析】
试题分析：（1）连接OD、OE、ED．先证明△AOE是等边三角形，得到AE=AO=0D，则四边形AODE是平行四边形，然后由OA=OD证明四边形AODE是菱形；
DF．（2）连接OD、先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半径，然后证明△ADC∽△AFD，得出AD2=AC?AF，进而求出AD．
试题解析：（1）证明：如图1，连接OD、OE、ED． ∵BC与⊙O相切于一点D， ∴OD⊥BC， ∴∠ODB=90°=∠C， ∴OD∥AC， ∵∠B=30°， ∴∠A=60°， ∵OA=OE，
∴△AOE是等边三角形， ∴AE=AO=0D，
∴四边形AODE是平行四边形， ∵OA=OD，
∴四边形AODE是菱形．
；3
．
（2）解：设⊙O的半径为r． ∵OD∥AC， ∴△OBD∽△ABC． ∴解得r=
，即8r=6（8﹣r）． ，
．
∴⊙O的半径为
如图2，连接OD、DF． ∵OD∥AC， ∴∠DAC=∠ADO， ∵OA=OD， ∴∠ADO=∠DAO， ∴∠DAC=∠DAO， ∵AF是⊙O的直径， ∴∠ADF=90°=∠C， ∴△ADC∽△AFD， ∴
，
∴AD2=AC?AF， ∵AC=6，AF=∴AD2=∴AD=
×6=45， =3
．
，
点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、菱形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是一个综合题，难度中等．熟练掌握相关图形的性质及判定是解本题的关键．
考点：切线的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质． 21．（1）y?【解析】
试题分析：方法一：
（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．
（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标． （3）△MBC的面积可由S△MBC=
1233x?x?2；（2）（，0）；（3）1，M（2，﹣3）．
2221BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线2BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M． 方法二：
（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．
（2）通过求出A，B，C三点坐标，利用勾股定理或利用斜率垂直公式可求出AC⊥BC，从而求出圆心坐标．
（3）利用三角形面积公式，过M点作x轴垂线，水平底与铅垂高乘积的一半，得出△MBC的面积函数，从而求出M点． 试题解析：解：方法一：
（1）将B（1，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a﹣
13×1﹣2，即：a=，∴抛物线的解析式为：22y?123x?x?2． 22（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；
∴OA=1，OC=2，OB=1，即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90° ，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（
3，0）． 2（3）已求得：B（1，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=
1x﹣2； 2设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=
1x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程： 2112312x+b=x?x?2，即：x?2x?2?b?0，且△=0；
2222∴1﹣1×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣1；
12∴直线l：y=
1x﹣1． 2123x?x?2?x?222 ，解得：?1?y??3x?42?y???所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：??y???即 M（2，﹣3）．
过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=方法二：
（1）将B（1，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a﹣
111×2×2×3﹣×2×1=1． （2+3）+×22213×1﹣2，即：a=，∴抛物线的解析式为：22y?123x?x?2． 22（2）∵y=
10?20?2 =﹣2，KBC= （x﹣1）（x+1），∴A（﹣1，0），B（1，0）．C（0，﹣2），∴KAC=?1?04?02=
1KBC=﹣1，∴AC⊥BC，∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形，△ABC的外接圆的圆心是，∴KAC×
23，0）． 2AB的中点，△ABC的外接圆的圆心坐标为（
（3）过点M作x轴的垂线交BC′于H，∵B（1，0），C（0，﹣2），∴lBC：y=
11x﹣2，设H（t，t﹣2），22M（t，
111123123t?t?2），∴S△MBC=×（HY﹣MY）（BX﹣CX）=×（t﹣2﹣t?t?2）（1﹣0）=2222222﹣t2+1t，∴当t=2时，S有最大值1，∴M（2，﹣3）．