中考数学复习专题训练：《四边形综合 》
1．问题发现：
（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，点E是AC的中点，点F在BC边上，将△ECF沿着EF折叠后得到△EPF，连接BP并使得BP最小，请画出符合题意的点
P；
问题探究：
（2）如图②，已知在△ABC和△EBD中，∠ACB＝∠BDE＝90°，AC＝BC＝4＝2
，连接CE，点F是CE的中点，连接AF，求AF的最大值．
，BD＝DE问题解决：
（3）西安大明宫遗址公园是世界文化遗产，全国重点文物保护单位，为了丰富同学们的课外学习生活，培养同学们的探究实践能力，周末光明中学的张老师在家委会的协助下，带领全班同学去大明宫开展研学活动．在公园开设的一处沙地考古模拟场地上，同学们参加了一次模拟考古游戏．张老师为同学们现场设计了一个四边形ABCD的活动区域，如图③所示，其中BD为一条工作人员通道，同学们的入口设在点A处，AD⊥BD，AD∥BC，∠DCB＝60°，AB＝2
米．在上述条件下，小明想把宝物藏在距入口A尽可能远的C处让小鹏去找，请问小明的想法是否可以实现？如果可以，请求出AC的最大值及此时△
BCD区域的面积，如果不能，请说明理由．
2．已知：如图，在菱形ABCD中，AC＝2，∠B＝60°．点E为边BC上的一个动点（与点B、
C不重合），∠EAF＝60°，AF与边CD相交于点F，联结EF交对角线AC于点G．设CE＝x，EG＝y．
（1）求证：△AEF是等边三角形；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）点O是线段AC的中点，联结EO，当EG＝EO时，求x的值．
3．已知在正方形ABCD和正方形CEFG中，直线BG，DE交于点H． （1）如图1，当B，C，E共线时，求证：BH⊥DE．
（2）如图2，把正方形CEFG绕C点顺时针旋转α度（0＜α＜90），M，N分别为BG，
DE的中点，探究HM，HN，CM之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）如图3，∠PDG＝45°，DH⊥PG于H，PH＝2，HG＝4．直接写出DH的长．
4．[问题引入]（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD两边上的点，且AE⊥
BF，垂足为点P．求证：AE＝BF；
[类比探究]（2）如图2，把（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，且AD＝2AB，其余条件不变，请你推断AE、BF满足怎样的数量关系，并说明你的理由；
[实践应用]（3）如图3，Rt△ABC中，∠BAC＝30°，把△ABC沿斜边AC对折得到Rt△
ADC，E、F分别为CD、AD边上的点，连接AE、BF，恰好使得AE⊥BF，垂足为点P．请求
出
的值．
5．如图，已知正方形ABCD中，BC＝4，AC、BD相交于点O，过点A作射线AM⊥AC，点E是射线AM上一点，联结OE交AB边于点F．以OE为一边，作正方形OEGH，且点A在正方形OEGH的内部，联结DH． （1）求证：△HDO≌△EAO；
（2）设BF＝x，正方形OEGH的边长为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （3）联结AG，当△AEG是等腰三角形时，求BF的长．
6．阅读材料：等腰三角形具有性质“等边对等角”．事实上，不等边三角形也具有类似性质“大边对大角”，如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，那么∠ACB＞∠ABC．证明如下：将AB沿△ABC的角平分线AD翻折（如图2），因为AB＞AC，所以点B落在AC的延长线上的点B′处．于是，由∠ACB＞∠B′，∠ABC＝∠B′，可得∠ACB＞∠ABC． （1）灵活运用：从上面的证法可以看出，折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法．由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”，如图3，在△ABC中，如果∠ACB＞∠ABC，那么AB＞AC．小明的思路是：沿BC的垂直平分线翻折……请你帮助小明完成后面的证明过程．
（2）拓展延伸：请运用上述方法或结论解决如下问题：
如图4，已知M为正方形ABCD的边CD上一点（不含端点），连接AM并延长，交BC的延长线于点N．求证：AM+AN＞2BD．
7．探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、
CD上，∠EAF＝45°．
（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使
AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系 ；
②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．
．点D、E均在边BC边上，