上海交通大学2008年振动力学期末考试试题

第一题（20分）

1、在图示振动系统中，已知：重物C的质量m1，匀质杆AB 的质量m2，长为L， 匀质轮O的质量m3，弹簧的刚度系数k。当AB杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。

解：

系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C的位移y作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 y＝0，此时系统的势能为零。

AB转角：系统动能：

m1动能：

m2动能：

m3动能：

系统势能：

在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有：

上式求导，得系统的微分方程为：

固有频率和周期为：

2、质量为m1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A连在质量为m2的物块B上；轮心C与刚度系数为k的水平弹簧相连；不计滑轮A，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。

解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B的位移x作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 x＝0，此时系统的势能为零。 物体B动能：

轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为，角速度为，转

过的角度为。轮子动能：

系统势能：

在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有：

上式求导得系统的运动微分方程：

固有频率为：

第二题（20分）

1、在图示振动系统中，重物质量为m，外壳质量为2m，每个弹簧的刚度系数均为k。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（1）以x1和x2为广义坐标，建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。

解：

系统为二自由度系统。

当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝2k，k21＝－2k 当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝4k，k12＝－2k 因此系统刚度矩阵为：

系统质量矩阵为：

系统动力学方程为：

频率方程为：

解出系统2个固有频率：

，

2、在图示振动系统中，物体A、B的质量均为m，弹簧的刚度系数均为k，刚杆AD的质量忽略不计，杆水平时为系统的平衡位置。采用影响系数方法，试求：（1）以x1和x2为广义坐标，求系统作微振动的微分方程；（2）系统的固有频率方程。

解：

系统可以简化为二自由度振动系统，以物体A和B在铅垂方向的位移x1和x2为系统的广义坐标。

当x1＝1，x2＝0时，AD转角为，

两个弹簧处的弹性力分别为另外有

。

和。对D点取力矩平衡，有：；

同理，当x2＝1，x2＝1时，可求得：

，

因此，系统刚度矩阵为：

系统质量矩阵为：

系统动力学方程为：

频率方程为：

即：

第三题（20分）

在图示振动系统中，已知：物体的质量m1、m2及弹簧的刚度系数为k1、k2、k3、k4。（1）采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）若k1=k3=k4= k0，又k2=2 k0，求系统固有频率；（3）取k0 =1，m1=8/9，m2 =1，系统初始位移条件为x1(0)=9和x2(0)=0，初始速度都为零，采用模态叠加法求系统响应。

解：

（1）系统可以简化为二自由度振动系统。 当x1＝1，x2＝0时，有：

k11＝k1+k2+k4，k21＝－k2

当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝k2+k3，k12＝－k2。因此，系统刚度矩阵为：

系统质量矩阵为：

系统动力学方程为：

（2）当

，

时，运动微分方程用矩阵表示为：

频率方程为：

求得：

（3）当k0=1，m1=8/9，m2 =1时，系统质量阵：

系统刚度阵：

固有频率为：

，

主模态矩阵为：

主质量阵：

主刚度阵：

模态空间初始条件：

，

模态响应：

，

即：

，

因此有：

第四题（20分）

一匀质杆质量为m，长度为L，两端用弹簧支承，弹簧的刚度系数为k1和k2。杆质心C上沿x方向作用有简谐外部激励

。图示水平位置为静平衡位置。

（1）以x和为广义坐标，采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）取参数值为m=12，L=1，k1 =1，k2=3，求出系统固有频率；（2）系统参数仍取前值，试问当外部激励的频率而无x方向的振动？

为多少时，能够使得杆件只有方向的角振动，

解：

（1）系统可以简化为二自由度振动系统，选x、q为广义坐标，x为质心的纵向位移，q 为刚杆的角位移，如图示。

当

、

时：

，

当

、

时：

，

因此，刚度矩阵为：

质量矩阵为：

系统动力学方程：

（2）当m=12，L=，k1 =1，k2 =3时，系统动力学方程为：

频率方程为：

即：

求得：

（3）令，代入上述动力学方程，有：

由第二行方程，解得

，代入第一行的方程，有：

，

要使得杆件只有方向的角振动，而无x方向的振动，则需

，因此

。

第五题（20分）

如图所示等截面悬臂梁，梁长度为L，弹性模量为E，横截面对中性轴的惯性矩为I，梁材料密度为为：解梁的响应

，

的详细过程。

，相应的模态函数为

，

）

。在梁的位置作用有集中载荷

。已知梁的初始条件

。（1）推导梁的正交性条件；（2）写出求

（假定已知第i阶固有频率为

提示：梁的动力学方程为：

，为函数。

，其中

解：

（1）梁的弯曲振动的动力学方程为：

可写为：

代入梁的动力学方程，有：

设与、对应有、，有：

（1）

（2）

式（1）两边乘以

并沿梁长对积分，有：

（3）

利用分部积分，上式左边可写为：

（4）

由于在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零，所以，上式右边第一、第二项等于零，成为：

将上式代入（3）中，有：

（5）

式（2）乘并沿梁长对积分，同样可得到：

（6）

由式(5)、(6)得：

（7）

如果

时，

，则有：

当

（8） 上式即梁的主振型关于质量的正交性。再由（3）及（6）可得：

当

当

上两式即梁的主振型关于刚度的正交性。

当、

时，式（7）总能成立，令：即为第j阶主质量和第j阶主刚度。

由式（6）知有：

如果主振型

中的常数按下列归一化条件来确定：

（9）

则所得的主振型称为正则振型，这时相应的第j阶主刚度式（9）与（8）可合并写为：

为

。

由式（6）知有：， （2）悬臂梁的运动微分方程为：

（1）

其中：

（2）

令：

（3）

代入运动微分方程，有：

（4）

上式两边乘

，并沿梁长度对x进行积分，有：

（5）

利用正交性条件，可得：

（6）

其中广义力为：

（7）

初始条件可写为：

（8）

上式乘以

，并沿梁长度对x积分，由正交性条件可得：

（9）

由式（6），可得：

（10）

利用式（3），梁的响应为：