∴∠BPR=∠PON=45°, ∵OA=OC,∠AOC=90° ∴∠PBR=∠BAO=45°, ∴PO⊥AC
∵∠BPQ+∠CBO=180, ∴∠BPQ=∠BCO+∠BOC 过点Q作QS⊥PN,垂足是S,
∴∠SPQ=∠BOR∴tan∠SPQ=tan∠BOR, 可求BR=
,OR=2
,
设Q点的横坐标是m, 当x=m时y=m+4, ∴SQ=m+3,PS=﹣m﹣1 ∴
=
,解得m=﹣.
当x=﹣时,y=, Q(﹣,).
9.解:(1)把点A的坐标为(﹣1,0)代入抛物线y=ax2+x+2中得:a=﹣, ∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+x+2,(1分)当x=0时,y=2,
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∴C(0,2),(2分) 当y=0时,﹣x2+x+2=0, x2﹣3x﹣4=0, 解得:x1=﹣1,x2=4, ∵点A在点B的左侧, ∴B(4,0),(3分)
设直线BC的解析式为:y=kx+b, 则
,解得:
,
∴直线BC的解析式为:y=﹣x+2;(5分) (2)如图1,在Rt△COB中,OC=2,OB=4, 由勾股定理得:BC=∵M是BC的中点, ∴MB=BC=
,(6分)
=2
,
∵点P的横坐标为m, ∴P(m,﹣
m+2),E(m,﹣m+2),
∴PE=|(
∴BD=OB﹣OD=4﹣m,
)﹣(﹣m+2)|=|﹣+2m|,(7分)
∵PD∥y轴,PM⊥BC, ∴cos∠MEP=∴EB=
,sin∠DEB=sin∠MEP==(4﹣m)
,
+2m|?
,
=sin∠BCO=
=
=
,
ME=PE?cos∠MEP=PE?cos∠DEB=|﹣∵BM=ME+BE, ∴|﹣解得:m=
+2m|?
或
+(4﹣m)
=
,(9分)
(舍),
;(10分)
∴当点m是线段BC的中点时,m的值为
(3)y=﹣x2+x+2=﹣(x﹣)2+∴顶点P(,分两种情况:
)
,
①当Q在y轴的右侧时,如图2,四边形ONQM是平行四边形, ∴ON=QM,ON∥QM,
∴延长QM交x轴于K,则QK⊥OB, 当x=时,y=﹣×
=,
﹣=
,
∴E(,),即DE=,PE=cos∠MEP=∴ME=
×
===
, , ,
同理得:BE=∵DE∥MK,
∴,即,
∴MK=,同理得BK==, ),
,
∴OK=4﹣∴M(,
当x=时,y=﹣∴Q(,
),
=,
根据平移规律可得N(0,),即N(0,);
②如图3,当Q在y轴的左侧时,四边形MONQ是平行四边形, 由①知:M(,
),
∴Q的横坐标为﹣, 当x=﹣时,y=﹣
+2=
,
∴Q(﹣,),
),即N(0,
);
).(14分)
同理得:N(0,
综上,点N的坐标为(0,)或(0,
10.解:(1)当y=0时, x﹣=0,解得x=4,即A(4,0),抛物线过点A,对称轴是x=,得解得
,
,抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4;
(2)∵平移直线l经过原点O,得到直线m, ∴直线m的解析式为y=x. ∵点P是直线1上任意一点, ∴设P(3a,a),则PC=3a,PB=a. 又∵PF=3PE, ∴
=
.