又 5cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA＝整理得：tanC＝5. (2)由(1)知sinC＝由正弦定理知：
5
，cosC＝6
1 6
52
cosC＋sinC． 33
＝，故c＝3.
sinAsinC1＝6
5 6
ac又∵sinB＝5cosC＝52
15
∴△ABC的面积为：S＝acsinB＝. 22
(理)(20142天津文，16)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a－c＝
6
b，sinB＝6sinC． 6
(1)求cosA的值； π
(2)求cos(2A－)的值．
6
[审题要点] (1)△ABC内角A、B、C满足A＋B＋C＝π，由两条件式可以角化边，也可以边化角，求cosA的值，用余弦定理可化角为边；
(2)用和角公式求cos(2A－
π)，需先求cos2A，sin2A的值，由(1)知cosA可求得sinA． 6
[解析] (1)∵sinB＝6sinC，∴b＝6c， 代入a－c＝6
b中可得a＝2c， 6
由余弦定理得
b2＋c2－a26c2＋c2－4c26cosA＝＝＝. 2
2bc4226c(2)由(1)知cosA＝∴sinA＝
10. 4
6
，又0 12 ∴cos2A＝2cosA－1＝－， 4sin2A＝2sinAcosA＝23106153＝. 444 π1315115－3 ∴cos(2A－)＝－3＋3＝. 642428 [易错警示] 1.对条件缺乏分析，盲目应用正、余弦定理，解题思路混乱是常见错误． 2．不注意条件A、B、C∈(0，π)的限制得出sinA＝± 10 致误． 4 18．(文)(20152南昌市一模)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽取50个进行调研，按成绩分组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100]．得到的频率分布直方图如图所示：若要在成绩较高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查． (1)已知学生甲和学生乙的成绩均在第五组，求学生甲或学生乙被选中复查的概率； (2)在已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受篮球项目的考核，求其中一人在第三组，另一人在第四组的概率． [解析] (1)设“学生甲或学生乙被选中复查”为事件A， 第三组人数为5030.0635＝15，第四组人数为5030.0435＝10， 第五组人数为5030.0235＝5， 根据分层抽样知，第三组应抽取3人，第四组应抽取2人，第五组应抽取1人， 2所以P(A)＝ 5 (2)记第三组选中的三人分别是A1，A2，A3，第四组选中的二人分别为B1，B2，第五组选中的人为C，从这六人中选出两人，有以下基本事件：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1C，A2A3，A2B1， A2B2，A2C，A3B1，A3B2，A3C，B1B2，B1C，B2C，共15个基本事件， 符合一人在第三组一人在第四组的基本事件有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，共6个， 62 所以所求概率P＝＝ 155 (理)(20152太原市一模)已知正三棱锥S－ABC的侧棱SA，SB，SC两两互相垂直，D，E， F分别是它们的中点，SA＝SB＝SC＝2，现从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个点，加上 点S，把这四个点每两个点相连后得到一个“空间体”，记这个“空间体”的体积为X(若点 S与所取三点在同一平面内，则规定X＝0)． (1)求事件“X＝0”的概率； (2)求随机变量X的分布列及数学期望． [解析] (1)从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个点共有C6＝20种不同取法， 其中所选取的3个点与点S在同一个平面内的取法共有C3C4＝12种不同取法． 123 ∴所求事件“X＝0”的概率P(X＝0)＝＝； 2051124 (2)由题意得X的所有可能取值为0，，，，； 6333 13 3 ?1?C31?1?C33P?X＝?＝3＝，P?X＝?＝3＝， ?6?C620?3?C620?2?C3C23?4?C31P?X＝?＝3＝，P?X＝?＝3＝， ?3?C620?3?C620 3 由(1)得P(X＝0)＝， 5∴随机变量X的分布列为 12 3 32 X P 0 3 51 61 201 33 202 33 204 31 203111323419∴E(X)＝03＋3＋3＋3＋3＝. 562032032032040 19．(文)(20142河北衡水中学5月模拟)如图，三角形ABC中，AC＝BC＝是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点． 2 AB，ABED2 (1)求证：GF∥底面ABC； (2)求证：AC⊥平面EBC； (3)求几何体ADEBC的体积． [解析] (1)取BE的中点H，连接HF、GH，(如图) 因为G、F分别是EC和BD的中点， 所以HG∥BC，HF∥DE， 又因为ADEB为正方形，所以DE∥AB，从而HF∥AB， 所以HF∥平面ABC，HG∥平面ABC， 又HF∩HG＝H， 所以平面HGF∥平面ABC，所以GF∥平面ABC． (2)因为ADEB为正方形，所以EB⊥AB， 又因为平面ABED⊥平面ABC， 所以BE⊥平面ABC， 所以BE⊥AC，又因为CA＋CB＝AB， 所以AC⊥BC，因为BC∩BE＝B， 所以AC⊥平面BCE. (3)取AB的中点N， 连接CN，因为AC＝BC，所以CN⊥AB， 又平面ABED⊥平面ABC，CN?平面ABC， 所以CN⊥平面ABED． 因为三角形ABC是等腰直角三角形， 11 所以CN＝AB＝， 22因为C－ABED是四棱锥， 11 所以VC－ABED＝SABED2CN＝. 36 (理)(20142陕西理，17)四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于 2 2 2 AD、BC的平面分别交四面体的棱BD、DC、CA于点F、G、H.