第4章 连通性
本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间．
§4.1 连通空间
本节重点:
掌握连通与不连通的定义；
掌握如何证明一个集合的连通与否；
掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性．
我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R中的两个区间（0，l）和［1，2），尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）∪［l，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）∪（1，2）是明显的两个“部分”．产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形．
定义4.1.1 设A和B是拓扑空间X中的两个子集．如果
则称子集A和B是隔离的．
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明显地，定义中的条件等价于和 同时成立，也就是
说，A与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点．
应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的，而子集（0，l）和[1，2)不是隔离的．
又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的．
定义4.1.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=A∪B，则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间．
显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间．
定理4.1.1 设X是一个拓扑空间．则下列条件等价： （l）X是一个不连通空间；
（2）X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A∩B=（3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得A∩B=（4）X中存在着一个既开又闭的非空真子集．
证明 条件（l）蕴涵（2）:设（1）成立．令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得A∪B＝X，显然A∩B=
，并且这时我们有
和A∪B＝X成立； 和A∪B＝X成立；
因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集．这证明了集合A和B满足条件（2）中的要求．
条件（2）蕴涵（3）．如果X的子集A和B满足条件（2）中的要求，所以A、B为闭集，则由于这时有A＝和B也满足条件（3）中的要求．
和B=
，因此A、B也是开集，所以A
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条件（3）蕴涵（4）．如果X的子集A和B满足条件（3）中的要求，所以A、B是开集，则由A＝
和B=
易见A和B都是X中的闭集，因此A、B
是X中既开又闭的真（∵A、B≠成立．
，A∪B=X，∴A、B≠X）子集，所以条件（4）
条件（4）蕴涵（l）．设X中有一个既开又闭的非空真子集A．令B=．则
A和B都是X中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得A∪B=X．易见两个无交的闭子集必定是隔离的（因为闭集的闭包仍为自己）．因此（l）成立．
例4.1.1 有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个不连通空间．这是因为对于任何一个无理数r∈R-Q，集合（-∞，r）∩Q＝（－∞，r]∩Q是子空间Q中的一个既开又闭的非空真子集．
定理4.1.2 实数空间R是一个连通空间． 证明 我们用反证法来证明这个定理．
假设实数空间R是不连通空间．则根据定理4.1.1，在R中有两个非空闭集A和B使得A∩B=可设a＜b．令
和A∪B＝R成立．任意选取a∈A和b∈B，不失一般性
=B∩[a,b]．于是∩
=
和
∪
和
是R中的两个非空闭
有上界
=A∩[a,b]，和
集分别包含a和b，并且使得b，故有上确界，设为．由于b，因为＝b将导致b∈
=[a，b]成立．集合
是一个闭集，所以∈
∩
=∩
，并且因此可见＜
．由矛盾．
∩，而这与矛盾．因此（，b]，也与
∩
=
于是一个闭集，所以∈
．这又导致∈
定义4.1.3 设Y是拓扑空间X的一个子集．如果Y作为X的子空间是一个连通空间，则称Y是X的一个连通子集；否则，称Y是X的一个不连通子集．
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拓扑空间X的子集Y是否是连通的，按照定义只与子空间Y的拓扑有关(即Y的连通与否与X的连通与否没有关系．)．因此，如果
，则Y是X
的连通子集当且仅当Y是Z的连通子集．这一点后面要经常用到．
定理4.1.3 设Y是拓扑空间X的一个子集，A，B
Y．则A和B是子空
间Y中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X中的隔离子集．
因此，Y是X的一个不连通子集，当且仅当存在Y中的两个非空隔离子集A和B使得A∪B＝Y(定义)当且仅当存在X中的两个非空隔离子集A和B使得A∪B＝Y．
证明 用
、
分别表示A在Y，X中的闭包．因为
因此根据隔离子集的定义可见定理成立．
定理4.1.4 设Y是拓扑空间X中的一个连通子集．如果X中有隔离子集A和B使得Y
AUB，则或者YA，或者Y
B．
AUB，则
证明 如果A和B是X中的隔离子集使得Y
这说明A∩Y和B∩Y也是隔离子集．然而 （A∩Y）∪（B∩Y）＝（A∪B）∩Y＝Y
因此根据定理4.1.3，集合A∩Y和B∩Y中必有一个是空集．如果A∩Y=
定理4.1.5 设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z
．则Z也是X的一个连通子集．
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，据上式立即可见YB，如果B∩Y＝，同理可见YA．
X满足条件