条件（2）蕴涵（3）．若（2）成立，则X的所有开集的所有连通分支（它们都是开集）构成的集族，由于每一个集合是它的所有连通分支之并，恰是X的一个基．
条件（3）蕴涵(1)．显然．
我们常用到定理4.4.1的一个推论：局部连通空间的每一个连通分支都是开集．
定理4.4.2 设X和Y都是拓扑空间，其中X是局部连通的．又设f:X→Y是一个连续开映射．则 f（X）是一个局部连通空间．
证明 根据定理4.4.1，可设B是X的一个基，其中的每一个元素都是连通的．对于每一个B∈B，集合f(B)是连通的，并且由于f是一个开映射，f（B）是Y中的一个开集，因此也是f（X）的一个开集．这证明集族B1={f（B）|B∈B}}是一个由f（X）的连通开集构成的族．我们指出B1是f(X)的一个基，这是因为，如果U是f(X)中的一个开集，则
（U）是X中的一个开集，因此
是B1中某些元素之并．于是根据定理4.4.l可知f（X）是局部连通的．
根据定理4.4.2易见，拓扑空间的局部连通性是一个拓扑不变性质. 定理4.4.3 设
是n≥1个局部连通空间．则积空间
也是局部连通空间．
证明(略)
应用这些定理，有些事情说起来就会简单得多．例如，实数空间R由于所有的开区间构成它的一个基，所以它是局部连通的；n维欧氏空间
是n个R
的积空间，所以它也是局部连通的．当然这些事情我们早就知道了．
作业:
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P127 1.2.3.
§4.5 道路连通空间
较之于连通空间的概念，道路连通空间这个概念似觉更符合我们的直觉因而易于理解些．我们先定义“道路”．
定义4.5.1 设X是一个拓扑空间．从单位闭区间[0，1]→X的每一个连续映射f:[0，1]→X叫做X中的一条道路，并且此时f(0)和f(1)分别称为道路f的起点和终点．当x＝f（0）和y＝f（1）时，称f是X中从x到y的一条道路．起点和终点相同的道路称为闭路，并且这时，它的起点（也是它的终点）称为闭路的基点．
如果f是X中的一条道路，则道路f的象集f([0，l])称为X中的一条曲线或弧，并且这时道路f的起点和终点也分别称为曲线f([0,1])的起点和终点．
或许应当提醒读者，“道路”这个词在这里所表达的意思已经与我们对它原有的理解颇有不同，希望读者不要因此而混淆了我们在这里严格定义的道路和曲线这两个不同的概念．
定义4.5.2 设X是一个拓扑空间．如果对于任何x，y，存在着X中的一条从x到y的道路（或曲线），我们则称X是一个道路连通空间．X中的一个子集Y称为X中的一个道路连通子集，如果它作为X的子空间是一个道路连通空间．(Y是否道路连通与X是否道路连通没有关系)
实数空间R是道路连通的．这是因为如果x，y∈R，则连续映射f:[0，1]→R定义为对于任何t∈[0,1]有f(t)=x+t(y-x)，便是R中的一条以x为起点以y为终点的道路、也容易验证任何一个区间都是道路连通的．
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定理4.5.1 如果拓扑空间X是一个道路连通空间，则X必然是一个连通空间．
证明 对于任何x，y∈X，由于X道路连通，故存在从x到y的一条道路f:[0，l]→X这时曲线f（[0,1]），作为连通空间[0，l]在连续映射下的象，是X中的一个连通子集，并且我们有x，y∈f（[0，1]）．因此根据定理4.1.7可见X是一个连通空间．
连通空间可以不是道路连通的．我们已经指出例4．4．l中的
是一个连
通空间．不难证明（留作习题，见习题第3题）它不是道路连通的．
道路连通与局部连通之间更没有必然的蕴涵关系、例如离散空间都是局部连通的，然而包含着多于两个点的离散空间不是连通空间，当然也就不是道路连通空间了．
定理4.5.2 设X和Y是两个拓扑空间，其中X是道路连通的，f:X→Y是一个连续映射．则 f（X）是道路连通的．
证明 设的，故X中有从
到
．由于X是道路连通
的一条道路g：[0，1]→X．易见，映射h：[0，1]→f(X)，
到
的一条
定义为对于任意t∈[0，1]有h（t）=fg（t），是f（X）中从道路．这证明f（X）是道路连通的．
根据定理4.5.2可见，空间的道路连通性是一个拓扑不变性质，也是一个可商性质.
定理4.5.3 设
是n≥1个道路连通空间．则积空间
也是道路连通空间．
证明 我们只需要对n＝2的情形加以证明．
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设故在1]→
中有从
到
的一条道路
对于i=l，2，由于：[0，1]→
是道路连通空间，
．定义映射f：[0，
)．容易验证
，使得对于任何t∈[0，l]有f（t）＝（
（应用定理3．2.7）f是连续的，并且有f(0)=x,f(1)=y．这也就是说f是中从x到y的一条道路．这证明
作为定理4.5.3的一个直接的推论立即可见：n维欧氏空间连通空间．（这个结论也容易直接验证．）
为了今后的需要我们证明以下引理，
定理4.5.4[粘结引理] 设A和B是拓扑空间X中的两个开集（闭集），并且有X＝A∪B．又设Y是一个拓扑空间， 映射，满足条件：
：A→Y和
：B→Y是两个连续
是一个道路
是一个道路连通空间．
定义映射f:X→Y使得对于任何x∈X，
f（x）＝
则f是一个连续映射． 证明 首先注意，由于 x∈A∩B时，有
．
，映射f的定义是确切的．因为当
其次，我们有：对于Y的任何一个子集Z有 这是由于
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