2015-2016学年广东省河源市高二(下)期末数学试卷(理科)解析版

不妨设c=t,a=2t,即又△F1PF2面积取最大值即点P为短轴端点,因此

,其中t>0, 时,

,解得t=1,

则椭圆的方程为;

(2)设直线AB的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立

可得(3+4t)y+6ty﹣9=0,

2

2

则,,

直线AA1的方程为

直线BA1的方程为

令x=4,可得,,

则,,

即有,

即为定值0.

【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到椭圆方程的求法,直线与圆锥曲线的相关知识,以及恒过定点问题.本题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.

22.(12分)(2016?顺义区一模)已知函数f(x)=xe+ax+2x+1在x=﹣1处取得极值. (1)求函数f(x)的单调区间;

(2)若函数y=f(x)﹣m﹣1在[﹣2,2]上恰有两个不同的零点,求实数m的取值范围. 【分析】(1)求出函数的导数,得到关于a的方程,求出a,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;

x2x2

(2)问题等价于xe+x+2x=m在[﹣2,2]上恰有两个不同的实根.令g(x)=xe+x+2x,求出函数的单调性求出g(x)的最小值,从而求出m的范围即可.

xx

【解答】解:(1)f'(x)=e+xe+2ax+2,

x

2

∵f(x)在x=1处取得极值,

∴f'(﹣1)=0,解得a=1.经检验a=1适合,

x2x

∴f(x)=xe+x+2x+1,f'(x)=(x+1)(e+2),

当x∈(﹣∞,﹣1)时,f'(x)<0,∴f(x)在(﹣∞,﹣1)递减; 当x∈(﹣1+∞)时,f'(x)>0,∴f(x)在(﹣1,+∞)递增. (2)函数y=f(x)﹣m﹣1在[﹣2,2]上恰有两个不同的零点, 等价于xe+x+2x﹣m=0在[﹣2,2]上恰有两个不同的实根,

x2

等价于xe+x+2x=m在[﹣2,2]上恰有两个不同的实根.

x2x

令g(x)=xe+x+2x,∴g'(x)=(x+1)(e+2),

由(1)知g(x)在(﹣∞,﹣1)递减; 在(﹣1,+∞)递增. g(x)在[﹣2,2]上的极小值也是最小值;

又∴

,g(2)=8+2e>g(﹣2),

,即

2

x

2

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,是一

道中档题.

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