[D]=[L]， [l]=[L]， [Δ]=[ L]， [T]=[MLT-2]
?1????xyz????V??D?11?1?ML?3?MLT???MT??L??1?1x1?1y1
z1M：1＝x1 x1＝1
L：-1＝-3x1 + y1 + z1 ? y1 ＝1 ? ?T：-1＝-y1 z1＝1 同理得：
1???VD
?2?lD，?3??D，?4?T?U2D2
所以，
T?UDT??U222??l??????,,??
?VDDD??2??l??2?D??,,????U?VDDD??DLDL???????VD,lD,??????UD?2ADL???????VD,lD,??
??D??l?? 令 C?D????,,D??L?VDDD??则 T?CDA?U2
4-7 假定气体中的声速C依赖于密度ρ、压强p和粘度μ。试用雷利量纲分析方法求声速C的表达式。
(C=Kp?)
z
解：C＝kρxpyμ
[C]=[ LT-1]，[ρ]=[ ML-3]，[p]=[MLT-2] ，[μ]=[ ML-1T-1] ， [LT-1]=k[ ML-3]x[MLT-2]y[ ML-1T-1]z
?121∴ c?k?
p2?kp?
4-8 蓖麻油相对密度为0.969，动力粘度为484mPas，流经直径为75mm的管道时，平均流速为5m/s。今用空气进行模拟试
验，气体管道直径为50mm，空气的运动粘度为0.15cm2/s，气流速度为多少，才能保持动力相似？ (0.225m/s) 解：由题意，欲保持动力相似，应维持雷诺数相等 Re?nVnDn?n?VmDm?Vm?n?Rem
?4?nVnDn?n???mmDm?0.969?1000?5?75?0.15?10484?10?3
?50Vm＝0.225m/s
4-9 油船吃水面积为400m2，航速5m/s，船长50m。在水中进行模型实验时，模型吃水面积为1m2。忽略表面张力及粘性力
的影响，只考虑重力的影响，与保持原型及模型中的弗汝德数相等，试求模型长度及模型航速大小。 (长度：2.5m，航速：1.12m/s) 解：
几何相似： ?A?AnAm??4001??2l??l?20
??Ln?L?Ln?50?2.5m
lmLml202Frn=Frm ,
Fr?VngL2?nVmgL?m52g?50?Vm2
g?2.5 21
∴ Vm?5?120?1.12m/s
4-10 充分发展了的粘性流体层流，沿平板下流时，厚度δ为常数，且
求证其流速分布关系式为：
u??p?x?0，重力加速度g。
?g??2??y?1?y???????2????????2????
证：Navier—Stokes方程：
??ux?ux?uxX??????222???x?y?z??x1?p??uy?uy?uyY??????22??x2??y?y?z?1?p222222??ux???u??t???uy???u??t??uxx?x?uy?u?uyx?y?uy?u?uzx
?z?uyx?x?uy?y?u
z?z??uz?uz?uzZ??????222???z?y?z??x1?p222??uz?uz???ux?u??t?x??uzy?y?uz?uz?z
由题意：X＝g，Y＝0，Z＝0；
?p?x?0
?ux?z22 uy＝uz＝0，ux＝u；
?ux?t?ux?z?0,?0
不可压稳定流：?0
?uy22?ux?ux??ux则N－S方程简化为：g??????ux??u22??x
??x?y??x?y由连续性方程：?ux?x??uy?y??uz?z?0得
?ux?y22?ux?x?0,?ux?x22?0
则N－S方程进一步简化为：g???0
积分：gy???u?y2?C1?0
再积分：gy2??u?C1y?C2?0
边界条件：y＝0时，u＝0 ? C2＝0 y＝δ时，
?u?y?0 ? C1＝－gδ
即 gy22??u?g?y?0
g?y?gy2所以
u?2???g??y??y?2?12?g??????2?y1?y??????2?????2????
4-11 管径400mm，测得层流状态下管轴心处最大流速为4m/s，求断面平均流速。此平均流速相当于半径为多少处的实际流
速？
22
解：V?umax2?p4?LR2?422?2m/s； umax?2?p4?LR2?4m/s
u??R??r??2m/s
0.22?0.1414mr?4-12 求证半径为a的圆管中粘性液体层流状态时，管中摩阻应力极大值为??证： 圆管层流 V??pR2L?pD24?Va。（μ为液体粘度，V为平均流速）
32?L??pL?32?VD2
?
max??32?Va2?2a?2?4?Va
4-13 用长度5km，直径300mm的钢管，输送相对密度0.9的重油，重量流量200t/h。求油温从t1＝10°C（ν1＝25St）变到t2
＝40°C（ν2＝1.5St）时，水头损失降低的百分数。 解：Q?M?200?10?3/36000.9?1000?0.0617m3/s
V?QA?4Q?d2?4?0.06173.14?0.32?0.8733m/s
t1＝10°C时：
Re1?Vd??0.8733?0.325?102?4?104.796?2000，2层流1
hf1??LVd2g?64Re1LVd2gt2＝40°C时：
Re1?Vd??0.8733?0.31.5?102?4?1746.6?2000，2层流2
hf2??LVd2g?64Re2LVd2ghf1?hhf1f2?1?hhf2f1?1?ReRe12??1?Vd104.7961746.6?0.94
1n4-15 管内紊流时的流速分布规律可写为指数形式
uumr????1??R??
其中um为最大流速，R为管道半径，u和r为任一点所对应的流速和半径。求平均流速与最大流速之比。 解：
uumr????1??R??1nr???u??1??R??1n?um
RQ??dQ?A?0u?2?rdr?2?um1nR?0r???1??R??11nrdr
r??设 v???1??R??,u?r，则 v??R?r????1??1?R?1?n1?1n ?xn?1n?1xn?1
23
RR?0r???1??R??1nrdr??R?11?r????1??1R??n1?1nR?r0R?R?11?0r????1??1R??n1?1ndr
?0?R2?11?1n1n?12?r????1??1R??n2?1n?0R21??1???1???2??n??n??Q?2?uRm?0r???1??R??rdr?2?uRm21??1???1???2??n??n??
V?QA?Q?R2?2um1??1???1???2??n??n??所以，
Vum?21??1???1???2??n??n??
4-17 相对密度0.8的石油以流量50L/s沿直径为150mm的管线流动，石油的运动粘度为10cSt，试求每公里管线上的压降（设
地形平坦，不计高程差）。
若管线全程长10km，终点比起点高20m，终点压强为1大气压，则起点应具备的压头为多少? 解：（1）V?Re??32QAVD?4Q?D2?4?50?103.14?0.15?5?2.83m/s
?4?2.83?0.151?10?0.0222?42450?2000，水力光滑区?＝0.3164ReLV
10000.15?2.832hf??d2g?0.022?2?9.8?59.93mhf??p???p?hf???59.93?0.8?9800?4.7?105Pa（2）hw?hf?0.022?0?p1?V1210?100.153?22.8322?9.8?599.3m
?2g?20?p2??V22g?hw?p26?0?Pa6
p1?0.8?9800??20?599.3??4.86?105
所以，每公里压降：4.7×10Pa，起点压头：4.86×10Pa
4-18 相对密度0.86的柴油，运动粘度0.3St，沿直径250mm的管路输送，全长20km，起点压强17.6大气压，终点压强1大气
压，不计高差，求流量。[提示：因流量未知，需采用试算法。可先假定水力摩阻系数λ＝0.03，求出流速后，再验算流态。]
解：试算法Q＝0.06m/s 长管：
p1＝p2?h?h?p1?p2?16.6?9.8?100.86?980043
??ff??193m
假设 λ＝0.03
则
hf??LV2d2g?V?hf?d?2g?L?193?0.25?2?9.80.03?20000?1.26m/s
Re?Vd??1.26?0.250.3?10?4?10462.123?2000，水力光滑区
24