高中数学人教A版选修4-1(14)

x′=2x??7π

5.平面直角坐标系中,若点P(3,)经过伸缩变换?12y′=y?3?系中,极坐标为Q的点到极轴所在直线的距离等于________.

后的点为Q,则极坐标

??x′=2x7π7π【解析】 ∵点P(3,)经过伸缩变换?后的点为Q(6,),则极坐标系中,126

??y′=3y

极坐标为Q的点到极轴所在直线的距离等于6|sin |=3.

6

【答案】 3

π

6.极坐标系中,点A的极坐标是(3,),则

6

(1)点A关于极轴的对称点的极坐标是________; (2)点A关于极点的对称点的极坐标是________;

(3)点A关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是________.(本题中规定ρ>0,θ∈[0,2π))

π11π

【解析】 点A(3,)关于极轴的对称点的极坐标为(3,);点A关于极点的对称点

66

7π5π

的极坐标为(3,);点A关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标为(3,).

66

11π7π5π

【答案】 (1)(3,) (2)(3,) (3)(3,) 666

三、解答题(每小题10分,共30分)

?x′=2x

7.已知点P的直角坐标按伸缩变换?变换为点P′(6,-3),限定ρ>0,0≤θ<2π

?y′=3y

时,求点P的极坐标.

???6=2x,?x=3,

【解】 设点P的直角坐标为(x,y),由题意得?解得?

???-3=3y,?y=-3,

∴点P的直角坐标为(3,-3), ρ=

-3

3+?-3?=23,tan θ=,

3

2

2

∵0≤θ<2π,点P在第四象限,

11π∴θ=,

6

11π

∴点P的极坐标为(23,).

6

π2π3π

8.(1)已知点的极坐标分别为A(3,-),B(2,),C(,π),D(-4,),求它们的

4322

直角坐标.

5

(2)已知点的直角坐标分别为A(3,3),B(0,-),C(-2,-23),求它们的极坐标

3

(ρ≥0,0≤θ<2π).

32323

【解】 (1)根据x=ρcos θ,y=ρsin θ,得A(,-),B(-1,3),C(-,0),

222D(0,-4)

yπ53π4π

(2)根据ρ2=x2+y2,tan θ=得A(23,),B(,),C(4,).

x6323

π5π

9.在极坐标系中,已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A(2,),B(2,π),C(2,).

33

(1)判断△ABC的形状; (2)求△ABC的面积.

π5π

【解】 (1)如图所示,由A(2,),B(2,π),C(2,)得|OA|=|OB|=|OC|=2,

33

∠AOB=∠BOC=∠AOC=.

3∴△AOB≌△BOC≌△AOC, ∴AB=BC=CA, 故△ABC为等边三角形. (2)由上述可知,

π3

AC=2OAsin=2×2×=23.

323

∴S△ABC=×(23)2=33(面积单位).

4教师备选

10.某大学校园的部分平面示意图如图:

用点O,A,B,C,D,E,F,G分别表示校门,器材室,操场,公寓,教学楼,图书馆,车库,花园,其中|AB|=|BC|,|OC|=600 m.建立适当的极坐标系,写出除点B外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π且极点为(0,0)).

【解】 以点O为极点,OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1 m),建立极坐标系,

ππ

由|OC|=600 m,∠AOC=,∠OAC=,得|AC|=300 m,|OA|=3003 m,又|AB|=|BC|,

62所以|AB|=150 m.

同理,得|OE|=2|OG|=3002 m,

ππ3π

所以各点的极坐标分别为O(0,0),A(3003,0),C(600,),D(300,),E(3002,),

624

3

F(300,π),G(1502,π).

4

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