第二章 控制系统的动态数学模型
本章要求学生熟练掌握拉氏变换方法，明确拉氏变换是分析研究线性动态系统的有力工具，通过拉氏变换将时域的微分方程变换为复数域的代数方程，掌握拉氏变换的定义，并用定义求常用函数的拉氏变换，会查拉氏变换表，掌握拉氏变换的重要性质及其应用，掌握用部分分式法求拉氏反变换的方法以及了解用拉氏变换求解线性微分方程的方法。明确为了分析、研究机电控制系统的动态特性，进而对它们进行控制，首先是会建立系统的数学模型，明确数学模型的含义，对于线性定常系统，能够列写其微分方程，会求其传递函数，会画其函数方块图，并掌握方块图的变换及化简方法。了解信号流图及梅逊公式的应用，以及数学模型、传递函数、方块图和信号流程图之间的关系。
例1 对于例图2-1所示函数， （1）写出其时域表达式；
（2）求出其对应的拉氏变换象函数
g1(t)10?112345678t
例图2-1
解：方法一：
g1?t??1?t??2?1?t?1??2?1?t?2??2?1?t?3??2?1?t?4???
G1?s??
12?s2?2s2?3s2?4s?e?e?e?e??sssss12??e?s1?e?s?e?2s?e?3s??ss
12?s1??e?ss1?e?s1?e?s?s1?e?s???? 方法二：
根据周期函数拉氏变换性质，有
5
1G1?s??1?e?2s?
?st????1?2?1t?1edt?0211?2s?e1?e?2ss1?1?e?s1?e?s??2e?s?11?1?e?ss??2?????
1?e?s?s1?e?s??
例2 试求例图2-2a所示力学模型的传递函数。其中，xi?t?为输入位移，xo?t?为输出位移，k1和k2为弹性刚度，D1和D2为粘性阻尼系数。
解： 粘性阻尼系数为D的阻尼筒可等效为弹性刚度为Ds的弹性元件。并联弹簧的弹性刚度等于各弹簧弹性刚度之和，而串联弹簧弹性刚度的倒数等于各弹簧弹性刚度的倒数之和，因此，例图2-2a所示力学模型的函数方块图可画成例图2-2b的形式。
k1xiD1D2k2xo
例图2-2a 弹簧-阻尼系统
Xi?s???k1?sD1k1?sD1F?s?1k2?sD2Xo?s?
例图2-2b 系统方块图 根据例图2-2b的函数方块图，则
k1?D1s1D1?sXo?s?k1?D1sk2?D2sk2 ??1Xi?s?1?k1?D1s???D1D22D1D1D2?s????s?1??k1?D1sk2?D2sk1k2?k1k2k2?
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例3 试求例图2-3所示电路网络的传递函数。其中，uo?t?为输出电压，ui?t?为输入电压，R1和R2为电阻，C1和C2为电容。
例图2-3 无源电路网络
解： 如例图2-3，设电流i1?t?和i2?t?为中间变量，根据基尔霍夫定律，可列出如下方程组
1?i1?t?dt?R1i2?t??C1? ? ui?t??uo?t??R1i2?t??1?i1?t??i2?t??dt??i1?t??i2?t??R2?uo?t??C2??? 消去中间变量i1?t?和i2?t?，得
R1R2C1C2d2uo?t?dt2duo?t?d2ui?t?dui?t?????R1C1?R2C2?R1C2??uo?t??R1R2C1C2?RC?RC?ui?t? 1122dtdtdt2令初始条件为零，将上式进行拉氏变换，得
R1R2C1C2s2Uo?s???R1C1?R2C2?R1C2?sUo?s??Uo?s??R1R2C1C2s2Ui?s???R1C1?R2C2?sUi?s??Ui?s? 由此，可得出系统传递函数为
Uo?s?R1R2C1C2s2??R1C1?R2C2?s?1 ?Ui?s?R1R2C1C2s2??R1C1?R2C2?R1C2?s?1例4 试求例图2-4所示有源电路网络的传递函数。其中，ui?t?为输入电压，uo?t?为
输出电压。
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例图2-4 有源电路网络
解： 如例图2-4，设R2、R4和R5中间点的电位为中间变量uA?t?。按照复阻抗的概念，电容C上的复阻抗为
1。 Cs 根据运算放大器的特性以及基尔霍夫定律，可列出如下方程组 Ui?s?U?s????A?R1R2? ?UA?s?UA?s??Uo?s?UA?s?
???R?1R25?R4?Cs?消去中间变量UA?s?，可得
R2R4?R2R5?R4R5Cs?1U?s?R?R5R2?R5 o ??2?Ui?s?R1R4Cs?1例5 如例图2-5所示系统，ui?t?为输入电压，io(t)为输出电流，试写出系统状态空间表达式。
ui(t) R1 io(t)
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例图2-5 电路网络 解：该系统可表示为
iL(t)L C uc(t)
R 8