种． 【答案】20
【解析】由题意，根据乙的支付方式进行分类，根据分类与分步计数原理即可求出． 【详解】
当乙选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支
11
付宝或现金，故有1+C2C2＝5，而乙选择支付宝时，丙丁也可以都选微信，或者其中11
一人选择微信，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C2C2＝5，此时共有5+5=10种，
当乙选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信
11
或现金，故有1+C2C2＝5，而乙选择微信时，丙丁也可以都选支付宝，或者其中一人11
选择支付宝，另一人只能选微信或现金，故有1+C2C2＝5，此时共有5+5=10种，
综上故有10+10＝20种， 故答案为20. 【点睛】
本题考查了分步计数原理和分类计数原理，考查了转化思想，属于难题. 16．已知双曲线
的右顶点为，以为圆心，半焦距为半
径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点.若________. 【答案】
，则的离心率为
【解析】设出双曲线C的渐近线方程到直线的离心率。 【详解】
设双曲线C的渐近线方程为
，点
，利用点到直线的距离公式得出点A
，根据
，化简得到
的距离，结合圆的弦长公式得到
到渐近线的距离为
则
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化简为
即
故的离心率为【点睛】
解得
在双曲线方程未知求离心率的问题：列出含有消去，然后转化成为关于的方程来求解。
三、解答题 17．在上的点. （I）求角； （Ⅱ）若
，
，
，求
的长，
的齐次方程，借助于
中，角，，所对的边分别为，，，且，是边
【答案】（I）；（Ⅱ）.
【解析】（I）利用正弦定理将边化角为，再结
合三角形内角和定理、两角和的正弦公式即可得到B。 （Ⅱ）利用余弦定理先求出长。 【详解】 （I）由
，得
，
进而得到
，由正弦定理即可得到
的
，
，∵，∴，∴.
（Ⅱ）在中，，，，
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由余弦定理得，所以，
在中，， ，由正弦定理，得，
所以【点睛】
.
本题关键是要掌握正弦定理的变形公式，，，，将边
化为角来处理问题，在解三角形时，往往三角形内角和定理最容易忽略的，利用内角和定理可简化未知角的数量。
18．如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，平面
平面
，
是边长为的正三角形，直线与平面所成角为.
（I）求证：（Ⅱ）若面角的余弦值.
； ，四边形
为平行四边形，求平面
与平面
所成锐二
【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】（I）过作面
，得出
，
，
。
交于点，连接，先证明平面，再由平
（Ⅱ）以为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面、平面的法
向量、，再由【详解】 证明：（I）过作
得出平面与平面所成锐二面角的余弦值。
交于点，连接，
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由平面又
，
平面，得，∴
平面，∴，∴
.
，
由直线与平面所成角为，易得，
由由平面
，，∴
，得
，.
，
，又
平面
，得
，得
. 平面
，
（Ⅱ）由（I），系四边形面
，，，
两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标
，∴，，∴
，，
，
，平面
，，
，
， ，
平面. ，
，∴
平
，由题意
为平行四边形，∴，平面，
，
，
平面
设平面的法向量为，由，得，取，
得，
设平面的法向量为，，，取，
，
，∴所求锐二面角的余弦值为.
【点睛】
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