把隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。例如将方程
y?F(x1,x2,?,xn)F(y,x1,x2,?,xn)?0解出
，就把隐函数化成显函数。要注意的是方程F(x,y)?0能确定隐函
数，一般并不都能从方程中解出y，并用自变量x的算式来表示。对于方程
y?x?12siny?0.可以证明确实存在一个定义在(??,??)上的函数f(x)，使得12sinf(x)?0,但这函数f(x)却无法用x的算式来表达。
f(x)?x?3.8.2隐函数经济问题的应用
在经济问题分析中，需要计算隐函数的导数和偏导数。例如，经济学中的一个内生变量y和一组外生变量x1,x2,?,xn常满足一个方程
F(y,x1,x2,?,xn)?0
在一定条件（或一定经济背景）下，对某给定区域给定上述变量，由方程
F(y,x1,x2,?,xn)?0可确定唯一的内生变量y的值。我们需要研究外生变量
xi的变化
如何影响内生变量y的变化，即需要求内生变量关于外生变量的偏导数?y/?x，用作经济理论的分析。
3.8.3 隐函数定理 3.8.3.1一个方程的情形
隐函数存在惟一性定理 若函数F(x,y)满足下列条件：
（1）函数F(x,y)在以P0(x0,y0)为内点的某一区域D?R2上连续；
（2）F(x0,y0)?0（通常称为初始条件）；（iii）在D内存在连续的偏导数
Fy?x,y?；
（3）Fy?x0,y0??0，则在定一个定义
P0的某邻域U(P0)?D内，方程F?x,y?=0惟一地确
则在某区间(x0??,x0??)内的函数（隐函数）y?f(x)，使得
若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作 y=f(x).”的定义，隐函数不一定是“函数”，而是“方程”。 总的说来，函数都是方程，但方程却不一定是函数。
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① f?x0??y0,当x?(x0??,x0??)时，(x,f(x))?U(P0)且F?x,f(x)??0； ② f?x?在(x0??,x0??)内连续.
例如方程为F(x,y)?(x2?y2)2?x2?y2?0.由于F(0,0)?0，F22与
Fy?4y(x?y)?2y均连续，故满足定理条件(1) (2) (3)．但因Fy(0,0)?0，致使
在原点的无论怎样小的邻域内都不可能存在唯一的隐函数．
隐函数可微性定理
（1）设F(x,y)满足隐函数存在唯一性定理中的条件(1)?(3)，又设在D内还存在连续的偏导数Fy(x,y)，则由方程F(x,y)?0所确定的隐函数在y?f(x)在其定义域
(x0??,x0??)内有连续导函数，且
dydx?f'(x)??Fx(x,y)Fy(x,y).
（2）设三元函数F(x,y,z)满足隐函数存在唯一性定理中的条件(1)?(3)，又设在
3D?R内还存在连续的偏导数Fz(x,y,z)，则由方程F(x,y,z)?0所确定的隐函数在
z?f(x,y)在其定义域内有连续偏导函数，且
?z?x??Fx(x,y,z)Fz(x,y,z),?z?y??Fy(x,y,z)Fz(x,y,z)
3.8.3.2方程组的情况
我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。我们不仅增加方程中变量的个数，而且增加方程的个数。例如，考虑方程组
?F(x,y,u,v)?0??G(x,y,u,v)?0
这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此该方程组就有可能确定两个二元函数。在这种情况下，我们可以由函数F、G的性质来断定由该方程组所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质，我们有下面的定理。
方程组的隐函数定理 设函数F(x,y,u,v)，G(x,y,u,v)满足下列条件 （1）在点P0(x0,y0,u0,v0)的某邻域内具有对各个变量的连续偏导数； （2）F(x0,y0,u0,v0)?0，G(x0,y0,u0,v0)?0；
（3）函数F,G对u,v的偏导数所组成的函数行列式(或雅可比行列式)
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J??(F,G)?(u,v)?FuGuFvGv?0，在点P0(x0,y0,u0,v0)
则方程组F(x,y,u,v)?0，G(x,y,u,v)?0在点P0的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数u?u(x,y),v?v(x,y)，满足条件u0?u(x0,y0)，
v0?v(x0,y0) 并有偏导数公式
?u ，
?vG)
?x??1?(F,G)J?(x,v)?x??1?(F,J?(u,x)
?u??1?(F,G) ，
?v??1?(F,G)
?yJ?(y,v)?xJ?(u,y)3.8.4 隐函数求导例子
根据以上三个定理，可对隐函数进行求导。 例1 设sinxy?ex?y2，求
dydx.
解 设 F(x,y)?sinxy?ex?y2，因为Fxx?ycosxy?e,Fy?xcosxy?2y所以
dyxy?exdx??FxF??ycosyxcosxy?2y
例 2设方程xu?yv?0，yu?xv?1，求偏导数?u?x,?u?y,?v?x,?v?y． 解 将所给方程的两边对x求偏导数并移项，得 ???u ??xu??x?y?x??u?u
???y?u?x?x?x??v 在F?x?yyx?x2?y2?0条件下，
?u?yx?u?u?vxyvyu?xv?x?22??xu?；
?v?vx?yx2?y2?x?y2
x2?y??x2?y2．同理，方程的两边对y求偏导数，解方程组得
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?u?y?xv?yux?y22，
?v?y??xu?yvx?y22．
例3 假设方程F(Q,K,L)?0隐含地定义了一个生产函数Q?f(K,L)，让我们求出表示与函数F相关的边际物质产品MPPK和MPPL的方法。
因为边际产品仅为偏导数
?Q?KFKFQ?Q?K和
?Q?L,我们可应用隐函数法则并写出：
?Q?LFLFQMPPK??? 和 MPPL???.
此外，我们还可由方程F(Q,K,L)?0得到另一个偏导数 ?K?LFLFK??.
它的经济含义是：当劳动力L发生变化时，为了保持产量不变，资本K的变化。因此，此偏导数所描述的K和L的变化实质上是一种“补偿”变化，从而使产出Q维持在某一特定水平不变，因而这种变化属于沿着等产量曲线上的移动，该等产量曲线以K为纵轴，L为横轴绘制。实际上，导数
?K?L表示等产量线斜率，它在正常情况下为负。而
?K?L则是两种投入的边际技术替代率。
3??u?v?u?v?u?xv?y例4 设?，求和，和.
3?x?x?y?y??v?yu?x解 令
3??F(x,y,u,v)?u?xv?y ?3??G(x,y,u,v)?v?yu?x则J?而
?(F,G)?(u,v)?FuGuFvGv?3uy2x3v2?9uv?xy
22?(F,G)?(x,v)?(F,G)?(u,x)?FxGxFuGuFvGvFxGx?v?13uy2x3v2?3v?x3??v?1??3u?vy
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