湖南省永州市2020届高三第三次模拟考试数学(理)试题及详细解析

若点M在椭圆C上,则,代入得,解得k无解;

若点M在抛物线D上,则,代入得,解得k无解.

当直线斜率不存在时,易知存在点M(﹣2,0)在椭圆C上.

故不存在直线l,使点M落在抛物线D上,存在直线l,使点M(﹣2,0)落在椭圆C上. 【点评】本题考查求椭圆的标准方程的求法,考查直线与圆锥曲线位置关系的应用,考查计算能力,是中档题.

20.【分析】(1)X在[70,100)内,按组距为5可分成6个小区间,分别是[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100),由70≤X<100,由5n≤X<5(n+1),

n∈N,能求出n的对值和k.

(2)(i)由于参赛学生很多,可以把频率视为概率,学生B的分数属于区间[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100)的概率分别是

,用符号Aij(或Bij)表示学生A(或B)在第一轮获

奖等级为i,通过附加赛最终获奖等级为j,其中j≤i(i,j=1,2,3),记W=“学生

*

B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”,由此能求出学生B最终获奖等级不低于

学生A的最终获奖等级的概率.

(ii) 学生A最终获得一等奖的概率是P(A21)=是P(

)=

,学生B最终获得一等奖的概率

,ξ的可能取值为0,1,2,分虽求出相应的

概率,由此能求出ξ的分布列和Eξ.

【解答】解:(1)根据题意,X在[70,100)内,按组距为5可分成6个小区间, 分别是[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100), ∵70≤X<100,由5n≤X<5(n+1),n∈N, ∴n=14,15,16,17,18,19,

*

每个小区间对应的频率值分别是P=5Y=.

,解得k=,

∴n的对值是14,15,16,17,18,19,k=.

(2)(i)由于参赛学生很多,可以把频率视为概率,

由(1)知,学生B的分数属于区间[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100)的概率分别是:

我们用符号Aij(或Bij)表示学生A(或B)在第一轮获奖等级为i,通过附加赛最终获奖等级为j,

其中j≤i(i,j=1,2,3),

记W=“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”, 则P(W)=P(B1+B21+B22A22+B32A22)

=P(B1)+P(B21)+P(B22)P(A22)+P(B32)P(A22) =

+

. ,

(ii) 学生A最终获得一等奖的概率是P(A21)=学生B最终获得一等奖的概率是P(

)=

P(ξ=0)=(1﹣P(ξ=1)=P(ξ=2)=

∴ξ的分布列为: ξ 0

1

2

)(1﹣)=

P

Eξ==.

【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查分布列、数学期望等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.

21.【分析】(1)由已知不等式先构造函数,然后结合导数与单调性的关系可求相应函数的单调性,进而可求.

(2)构造函数,对其求导,然后结合导数与单调性的关系及不等

式的恒成立与最值问题的相互转化可求. 【解答】解:(1)令

则φ'(x)=x+m﹣ln(x+1)﹣1,

∴φ'(x)在[0,+∞)上单调递增,且φ'(0)=m﹣1, 若m≥1,φ(x)在[0,+∞)上单调递增, ∴φ(x)≥φ(0)=0, 即m≥1满足条件,

若m<1,φ′(0)=m﹣1<0,φ(x)存在单调递减区间[0,x0],又∵φ(0)=0 所以存在x0使得φ(x0)<0与已知条件矛盾,所以m≥1,m的最小值为1. (2)由(1)知令

,如果

,则必有f(x)≤g(x)成立.

,则h(x)=(a﹣1)x﹣xcosx=x(a﹣1﹣cosx),

h(x)=x(a﹣1﹣cosx)≥0,则a﹣1﹣cosx≥0,a≥1+cosx,a≥2.

若h(x)≥0,必有f(x)≤g(x)恒成立,故当a≥2时,f(x)≤g(x)恒成立, 下面证明a<2时,f(x)≤g(x)不恒成立.

令f1(x)=f(x)﹣x=(x+1)ln(x+1)﹣x,f′1(x)=ln(x+1), 当x>0时,f′1(x)=ln(x+1)>0,f1(x)在区间[0,1]上单调递增, 故f1(x)≥f1(0)=0,即f1(x)=f(x)﹣x≥0,故x≤f(x).

g(x)﹣f(x)≤g(x)﹣x=

>0,

=,

所以t(x)在[0,1]上单调递增,t(0)=a﹣2<0,则一定存在区间(0,m)(其中0<m<1),当x∈(0,m)时,t(x)<0,

则g(x)﹣f(x)≤xt(x)<0,故f(x)≤g(x)不恒成立. 综上所述:实数a取值范围是[2,+∞).

【点评】本题主要考查了不等式恒成立问题;还考查不等式放缩求参数取值范围问题的求解,属于中档试题.

(二)选考题:10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做第一题

计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]

22.【分析】(1)直接利用转换关系的应用,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.

(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形面积公式的应用求出结果.

【解答】解:(1)曲线C的方程为x﹣2x+y=0.转换为极坐标方程为:ρ=2cosθ. 联立

,得M(0,0),

).

2

2

(2)易知|MN|=1,直线

设点P(2cosα,sinα),则点P到直线l的距离∴

∴△PMN面积的最大值为

(其中

【点评】本题考查的知识要点:参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,点到直线的距离公式的应用,三角形面积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型. [选修4-5:不等式选讲]

23.【分析】第1问考查利用分类讨论思想解绝对值不等式; 第2问考查分段函数求最值、构造法和基本不等式等. 【解答】解:(1)当x<0时,(1分)

当0<x≤1时,f(x)>当x>1时,综上,x<0或所以不等式分) 证明:(2)

等价于x﹣2x>0,该不等式解集为?,……(2分) 等价于x+2x﹣2>2,解得, 的解集为

. …………………(5

2

2

等价于x+2|x﹣1|>﹣2,该不等式恒成立,……

2

,………(3分)

易得f(x)的最小值为1,即a+b+c=M=1……………………………(7分)

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