行列式计算7种技巧7种手段
【说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为det(A).本质上,行列式描述的是在n维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此,本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此,供已具有行列式学习基础的读者阅读
一7种技巧:
【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式 技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=Da11a21?an1a12a22?an2???a1na2n?ann?a11a12?a1na21a22?a2n???an1an2?annT
技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号 a11a21?an1a12a22?an2???a1na2n?ann??a21a11?an1a22a12?an2???a2na1n?ann
技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 b1a11b2a21?bnan1b1a12b2a22?bnan2???b1a1nb2a2n?bnann?a11a21?an1a12a22?an2???a1na2n?annn?bi?1n
技巧4:行列式具有分行(列)相加性 a11?bt1?ct1?an1a12?bt2?ct2?an2???a1n?a11?a12?bt2?an2???a1n?a11?a12?ct2?an2???a1n?ctn ?annbtn?ctn?bt1?ann?an1btn?ct1?ann?an1
技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变
a11?as1?at1?an1a12?as2?at2?an2?a1n?asn??atn?anna11?as1?kat1?at1?an1a12?as2?kat2?at2?an2?a1n?asn?katn???
??atn?ann??技巧6:分块行列式的值等于其主对角线上两个子块行列式的值的乘积
a11?am1c11?cn1????a1m?ammc1m?cnm0?0b11?bn1????0?0b1n?bnn?a11?am1??a1mb11???ammbn1?b1n?bnn
技巧7:[拉普拉斯按一行(列)展开定理] 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和
nnikD??ak?1Aik(i?1,2,?,n)??ak?1kjAkj(j?1,2,?,n)
二.7种手段:
【手段】所谓行列式计算的手段,即在计算行列式时,观察已给出的原始行列式或进行化简后的行列式,只要它们符合已知的几种行列式模型,就可以直接计算出这些行列式 手段1:对于2阶行列式和3阶行列式,可以直接使用对角线法则进行计算 a11a21a11a21a31a12a22a12a22a32?a11a22?a12a21a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31 a33,
手段2:对于4阶以上的行列式,若行列式中有很多元素为零,则根据定义进行计算较为方便,否则较为复杂(常见于计算机程序和数学软件)
a11a12a22?an2???a1na2n?ann?a21?an1定义:
?p1p2?pn(?1)?(p1p2?pn)a1p1a2p2?anpn
运用数学软件Matlab按定义计算4阶行列式: >> syms a b c d e f g h i j k l m n o p >> A=[a,b,c,d;e,f,g,h;i,j,k,l;m,n,o,p] A =
[ a, b, c, d] [ e, f, g, h] [ i, j, k, l] [ m, n, o, p] >> det(A) ans =
a*f*k*p-a*f*l*o-i*a*g*p+i*a*h*o+a*n*g*l-a*n*h*k-e*b*k*p+e*b*l*o+i*e*c*p-i*e*d*o-e*n*c*l+e*n*d*k+i*b*g*p-i*b*h*o-i*f*c*p+i*f*d*o+i*n*c*h-i*n*d*g-m*b*g*l+m*b*h*k+m*f*c*l-m*f*d*k-i*m*c*h+i*m*d*g
手段3:上三角行列式,下三角行列式,主对角线行列式,副对角线行列式 a110?0a12a22?0???a1na2n?annna11?0a22?an2??00?n?ai?1ii,
a21?an1??ai?1ii,
?ann?1?2???1?2??n(其余未写出元素均为零),
?n?1?2?n(n?1)?(?1)2?1?2??n(其余未写出元素均为零)
?n
手段4:若行列式中有两行(列)对应元素相等,则此行列式的值等于零 abcdabcdefghijkl?0
手段5:若行列式中有一行(列)的元素全为零,则此行列式的值为零 0000abcdefghijkl?0
手段6:若行列式中有两行(列)元素成比例,则此行列式的值等于零 abcdkakbkckdefghijkl?0
手段7:范德蒙德(Vandermonde)行列式 1x1x1?x1n?121x2x2?x2n?12???1xnxn?xn2??n?i?j?1(xi?xj)
?n?1
三.跟踪训练
【解题思路】为了使读者能够巩固前文叙述的7种技巧和7种手段,本人附上一些行列式的习题以供参考.解题时,一般先观察题目所给出的原始行列式,若原始行列式能够用7种手段的其中一种进行计算,则可直接得出答案,否则,一般先利用7种技巧对原始行列式进行化简,使之转化成能够用7种手段的其中一种进行计算的行列式,再得出答案.读者在利用7种技巧时,要注意技巧之间的搭配使用
计算下列行列式的值: 习题1: 1?1321?10?4 8解答: 1?1321?10?4?1?1?8?2?(?4)?3?0?(?1)?(?1)?0?1?3?2?(?1)?8?1?(?4)?(?1)??48[手段1] 习题2: 00a0b000f00c0d0e
解答: