湖南科技大学本科生毕业设计（论文）
当选用òabdx(x-a)作为比较对象òag(x)dx时，比较法则及其推论1成为如下推论： pb推论2设函数f定义在区间(a,b]上， a为其瑕点，且在[u,b]ì(a,b]上可积，则有：
(i)
当f(x)￡1(x-a)1时，且0 (ii) 当f(x)3(x-a)f(x)dx发散 推论3设函数f定义在区间(a,b]上， a为其瑕点，且在[u,b]ì(a,b]上可积，如果 lim+(x-ax?a)pf(x)=l 则有： (iii) 当0 (iv) 当p31，0 2lnxxdx (2) ò1dx lnxx解： (1)这两个瑕积分的被积函数在各自的积分区间分别保持同号，lnx在(0,1]上恒为x负，x在(1,2]上恒为正,所以它们的瑕积分收敛与绝对收敛是同一回事 lnx(1)这个瑕积分的瑕点为x=0，有上述推论3，取p=3<1时，有 4lnx l=lim+x?x?0x34 =-lim+x?0lnxx-14 =x?lim+(4x)=0 014 - 21 - 湖南科技大学本科生毕业设计（论文） 所以瑕积分(1)收敛 (2)这个瑕积分的瑕点为x=1，取p=1时，有 x l=lim(x-1)?+x?1lnx =lim+x-1=1 x?1lnx所以瑕积分(2)发散. 根据比较法则，在讨论瑕积分的敛散性时，我们要进行适当的放缩，这是个难点，不过运用比较法则的几个推论，只要熟悉公式，取相应的p值，问题自然迎刃而解. 以上就是讨论瑕积分的敛散性的几种基本方法. - 22 - 湖南科技大学本科生毕业设计（论文） 第四章 混合型反常积分 前面我们讨论了无穷积分和瑕积分这两种反常积分各自的性质和它们的各自的敛散性判别方法，然而许多问题不单单只是一种反常积分，而是无穷积分与瑕积分的混合，也就是说，它既是无穷积分，也是瑕积分，这就是本节要讨论的类容. 对于混合型积分，我们要把它适当的拆开，在进行讨论. 混合型反常积分：设函数f定义在区间(a,+ )上，点a是函数f的瑕点，且在任何内必区间[u,+ヌ)(a,+ )上有界且可积.我们定义 蝌a+?f(x)dx=uaf(x)dx+ u f(x)dx 当且仅当右边的两个积分都收敛时，左边的积分才收敛. 例11 讨论反常积分F(a)=ò0解 把这个积分写成 + 1+xxa-1dx的收敛性 xdx+F(a)=蝌01+x1a-1+ 11+xxa-1dx=I(a)+J(a) (i) 先讨论I(a).当a-1 0，即a31时它是定积分;当a<1时它是瑕积 分，瑕点为x=0，由于 lim+x?x=1 x?01+x1-aa-1根据定理5推论3，当0 (ii) 接下来讨论J(a)，它是无穷积分，由于 limx?ギx2-ax?x=lim=1， x+ 1+x1+xa-1根据定理4推论3，当p=2-a>1，即a<1且l=1时，无穷积分J(a)收敛：而当 p=2-a 1，即a31且l=1时，无穷积分J(a)发散 综上所述，把讨论结果列如下表 a a￡0 0 a31 湖南科技大学本科生毕业设计（论文） I(a) J(a) F(a) 发散 收敛 发散 收敛 收敛 收敛 定积分 发散 发散 由此可见，反常积分F(a)只有当时0 从上题可以看出，对于这种既包含无穷积分，又包含瑕积分甚至定积分的反常积分，我们应该先把它拆开，在对不同的部分进行不同的讨论. 例12 求下列反常积分的值 (1) F(x)=ò0+ lnx1+xdx (2) ò02+ dx(1+x)(1+x)n2 解 (1)把反常积分分成 F(x)=蝌0+?lnx1+xdx=210lnx1+xdx+ 12 lnx1+x2dx 11 令x=，则dx=-2dt，有 tt 蝌1+ lnx1+xdx=-2101-lnt1?2dt -21+ttlnt =ò-1+0t2dt lnx1+x2而ò0-1lnt1+tdt正好是与ò02+ 1dx相反的形式 所以F(x)=ò0lnx1+x2dx=0， (2)把反常积分分成 蝌(1+0+?dxx)(1+x)n2=10dx(1+x)(1+x)n2+ 1 dx(1+x)(1+x)n2 11 令x=，则dx=-2dt，有 tt- 24 -