2016年中考数学复习专题讲座七：归纳猜想型问题（一）
一、中考专题诠释
归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。 二、解题策略和解法精讲
归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。 三、中考考点精讲
考点一：猜想数式规律
通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
例1 （2015?沈阳）有一组多项式：a+b2，a2﹣b4，a3+b6，a4﹣b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为 ． 考点： 多项式。810360 专题： 规律型。
分析： 首先观察归纳，可得规律：第n个多项式为：an+（﹣1）n+1b2n，然后将n=10代入，即可求得答案．
解答： 解：∵第1个多项式为：a1+b2×1， 第2个多项式为：a2﹣b2×2， 第3个多项式为：a3+b2×3， 第4个多项式为：a4﹣b2×4， …
∴第n个多项式为：an+（﹣1）n+1b2n， ∴第10个多项式为：a10﹣b20． 故答案为：a10﹣b20．
点评： 此题考查的知识点是多项式，此题难度不大，注意找到规律第n个多项式为：an+（﹣1）n+1b2n是解此题的关键．
例2 （2015?珠海）观察下列等式： 12×231=132×21， 13×341=143×31， 23×352=253×32， 34×473=374×43， 62×286=682×26， …
1
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”： ①52× = ×25； ② ×396=693× ．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．
考点： 规律型：数字的变化类。810360 专题： 规律型。
分析： （1）观察规律，左边，两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边，三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律进行填空即可；
（2）按照（1）中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行证明即可． 解答： 解：（1）①∵5+2=7，
∴左边的三位数是275，右边的三位数是572， ∴52×275=572×25，
②∵左边的三位数是396，
∴左边的两位数是63，右边的两位数是36， 63×369=693×36；
故答案为：①275，572；②63，36．
（2）∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，
∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a， 右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b， ∴一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）， 证明：左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]， =（10a+b）（100b+10a+10b+a）， =（10a+b）（110b+11a）， =11（10a+b）（10b+a）， 右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）， =（100a+10a+10b+b）（10b+a）， =（110a+11b）（10b+a）， =11（10a+b）（10b+a）， 左边=右边，
所以“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）．
点评： 本题是对数字变化规律的考查，根据已知信息，理清利用左边的两位数的十位数字与个位数字变化得到其它的三个数字是解题的关键．
考点二：猜想图形规律
根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形
2
为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。 例3 1．（2015?重庆）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（ ）
50 64 68 72 A．B． C． D． 考点： 规律型：图形的变化类。810360
分析： 先根据题意求找出其中的规律，即可求出第⑥个图形中五角星的个数． 解答： 解：第①个图形一共有2个五角星， 第②个图形一共有：2+（3×2）=8个五角星， 第③个图形一共有8+（5×2）=18个五角星， …
第n个图形一共有：
1×2+3×2+5×2+7×2+…+2（2n﹣1） =2[1+3+5+…+（2n﹣1）]， =[1+（2n﹣1）]×n =2n2，
则第（6）个图形一共有： 2×62=72个五角星； 故选D．
点评： 本题考查了图形变化规律的问题，把五角星分成三部分进行考虑，并找出第n个图形五角星的个数的表达式是解题的关键．
例4 （2015?绍兴）在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树，树与灯间的距离是10cm，如图，第一棵树左边5cm处有一个路牌，则从此路牌起向右510m～550m之间树与灯的排列顺序是（ ）
A． 考点： 规律型：图形的变化类。810360
3
B． C． D． 分析： 根据题意可得，第一个灯的里程数为10米，第二个灯的里程数为50，第三个灯的里程数为90米…第n个灯的里程数为10+40（n﹣1）=40n﹣30米，从而可计算出530米处哪个里程数是灯，也就得出了答案．
解答： 解：根据题意得：第一个灯的里程数为10米， 第二个灯的里程数为50， 第三个灯的里程数为90米 …
第n个灯的里程数为10+40（n﹣1）=（40n﹣30）米， 故当n=14时候，40n﹣30=530米处是灯， 则510米、520米、540米处均是树， 故应该是树、树、灯、树， 故选B．
点评： 本题考查了图形的变化类问题，解决本题的关键是从原图中找到规律，并利用规律解决问题．
例5 （2015?荆门）已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有（ ）
A．8048个 B． 4024个 C． 2012个 D． 1066个 考点： 规律型：图形的变化类。810360 专题： 规律型。
分析： 写出前几个图形中的直角三角形的个数，并找出规律，当n为奇数时，三角形的个数是2（n+1），当n为偶数时，三角形的个数是2n，根据此规律求解即可． 解答： 解：第1个图形，有4个直角三角形， 第2个图形，有4个直角三角形， 第3个图形，有8个直角三角形， 第4个图形，有8个直角三角形， …，
依次类推，当n为奇数时，三角形的个数是2（n+1），当n为偶数时，三角形的个数是2n个，
所以，第2012个图形中直角三角形的个数是2×2012=4024． 故选B．
点评： 本题主要考查了图形的变化，根据前几个图形的三角形的个数，观察出与序号的关系式解题的关键．
考点三：猜想坐标变化 例6 （2015?德州）如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A（0），A（﹣1），A（0），则依图中所示规律，A2012的坐标为 ． 12，21，30，
4