大学 点集拓扑练习题及答案

有x?{x}?,y?{y}?.从而X是一个T1空间.

*17、设(X,T)是一个T1空间,?是任何一个不属于X的元素.令X?X?{?}和T?T?{X},试

**说明拓扑空间(X,T)是一个T0空间. 答案:对任意x,y?X,x?y,若x,y都不是?,则从而x,y各有一个开邻域U,V,使得x?V,y?U;若x,y中有一x,y?X.由于X 是一个T1空间,

个是?,不妨设x??,则y有开邻域X不包含?.由以上的讨论知,对X*中任意两个不同点必有一个点有一个开邻域不包含另一点,从而X是T0空间.

18、若X是一个正则空间,试说明:对?x?X及x的每一个开邻域U,都存在x的一个开邻域V,使得

***V?U. 答案: 对?x?X,设U是x的任何一个开邻域,则U的补集U?是一个不包含点x的

一个闭集.由于X是一个正则空间,于是x和U?分别有开邻域V和W,使得V?W??,因此

V?W?,所以V?W???W??U.

19、若X是一个正规空间,试说明:对X的任何一个闭集A及A的每一个开邻域U,都存在A的一个

开邻域V,使得V?U. 答案:设A是X的任何一个闭集,若A是空集,则结论显然成立.下设A不是空集,则对A的任何一个开邻域U,则U的补集U?是一个不包含点A的一个闭集. 由于

X是一个正规空间,于是A和U?分别有开邻域V和W,使得V?W??,因此V?W?,所以

V?W???W??U.

20、试说明T1空间X的任何一个子集的导集都是闭集.

答案:设A是X的任何一个子集,若A是空集,则d(A)??,从而A的导集是闭集.下设A不是空集,则对?x?(d(A))?,则x有开邻域U,使得(U?{x})?A??,由于X是T1空间,从而U?{x}是开集,故

U?{x}?(d(A))?,于是U?(d(A))?,所以(d(A))?是它每一点的邻域,故(d(A))?是开集,因此

d(A)是闭集.

21、试说明紧致空间X的无穷子集必有凝聚点.

答案:如果X的无穷子集的A没有凝聚点,则对于任意x?X,有开邻域Ux,使得

(Ux?A)?{x}??,于是X的开覆盖{Ux|x?X}没有有限子覆盖,从而X不是紧致空间,矛盾.

故紧致空间X的无穷子集必有凝聚点. 22、如果X?Y是紧致空间,则X是紧致空间.

答案:考虑投射P由于P从而由X?Y紧致知X是1:X?Y?X,1:X?Y?X是一个连续的满射,一个紧致空间.

23、如果X?Y是紧致空间,则Y是紧致空间.

答案:考虑投射P2:X?Y?Y,由于P2:X?Y?Y是一个连续的满射,从而由X?Y紧致知Y是一个紧致空间.

24、试说明紧致空间X的每一个闭子集Y都是紧致子集.

答案:如果A 是Y的任意一个由X中的开集构成的覆盖,则B=A?{Y?}是X的一个开覆盖.设B 1是B的一个有限子族并且覆盖X.则B 1?{Y?}便是A 的一个有限子族并且覆盖Y,从而Y是紧致子集.

六、证明题(每题8分)

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1、设f:X?Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则f(X)是Y的一个连通子集.

证明:如果f(X)是Y的一个不连通子集,则存在Y的非空隔离子集A,B使得

f(X)?A?B …………………………………………… 3分

于是f?1(A),f?1(B)是X的非空子集,并且:

(f?1(A)?f?1(B))?(f?1(B)?f?1(A))?(f?1(A)?f?1(B))?(f?1(B)?f?1(A)) ?f?1((A?B)?(A?B))??所

f?1(A),f?1(B)是

X的非空隔离子集 此外,

f?1(A)?f?1(B)?f?1(A?B)?f?1(f(X))?X,这说明X不连通,矛盾.从而f(X)是Y的一个

连通子集. ………………………… 8分

2、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两个无交的开集使得Y则或者Y?A,或者Y?B.

证明:因为A,B是X的开集,从而A?Y,B?Y是子空间Y的开集. 又因Y?A?B中,故Y?(A?Y)?(B?Y) ………………… 4分

由于Y是X的连通子集,则A?Y,B?Y中必有一个是空集. 若B?Y??,则Y?A;若

?A?B,

A?Y??,则Y?B………………… 8分

3、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两个无交的闭集使得Y则或者Y?A,或者Y?B.

证明:因为A,B是X的闭集,从而A?Y,B?Y是子空间Y的闭集. 又因Y?A?B中,故Y?(A?Y)?(B?Y) ………………… 4分

由于Y是X的连通子集,则A?Y,B?Y中必有一个是空集. 若B?Y??,则Y?A;若

?A?B,

A?Y??,则Y?B………………… 8分

4、设Y是拓扑空间X的一个连通子集,Z?X满足Y?Z?Y,则Z也是X的一个连通子集.

证明:若Z是X的一个不连通子集,则在X中有非空的隔离子集A,B 使得Z?A?B.因此

Y?A?B ………………………………… 3分

由于Y是连通的,所以Y?A或者Y?B,如果Y?A,由于Z?Y?A,所以Z?B?A?B??,因此 B?Z?B??,同理可证如果Y?B,则A??,均与假设矛盾.故Z也 是X的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分

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5、设{Y?}???是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族.如果通子集. 证明:若

Y??????,则

Y????是X的一个连

Y????是X的一个不连通子集.则X有非空的隔离子集A,B使得

Y?????A?B………………………………………… 4分

Y????,不失一般性,设x?A,对于每一个???,由于Y?连通,从而

任意选取x?Y?????A及

B??,矛盾,

所以

Y????是连通的. ………………………………………… 8分

6、设A是拓扑空间X的一个连通子集,B是X的一个既开又闭的集合.证明:如果A?B??,则A?B.

证明:若B?X,则结论显然成立.

下设B?X,由于B是X的一个既开又闭的集合,从而A?B是X的子空间A的一个既开又闭的子集………………………………… 4分

由于A?B??及A连通,所以A?B?A,故A?B.………… 8分 7、设A是连通空间X的非空真子集. 证明:A的边界?(A)??.

??证明:若?(A)??,由于?(A)?A?A?,从而

??A??A???(A??A??)?(A?A?)?(A??A?)?(A?A??),

故A ,A?是X的隔离子集 ………………………………………… 4分

因为A是X的非空真子集,所以A和A?均非空,于是X不连通,与题设矛盾.所以

?(A)??. ……………………………………………… 8分

8、设X是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X不满足第一可数性公理.

证明:若X满足第一可数公理,则在x?X处,有一个可数的邻域基,设为V ,因为X是可数补空间,x

因此对?y?X,y?x,X?{y}是x的一个开邻域,从而? Vy?V x ,使得Vy?X?{y}.

于是{y}?Vy, …………………………………………………4分 由上面的讨论我们知道:

?X?{x}? 因为Xy?X?{x}? {y}?? Vyy?X?{y}?

?{x}是一个不可数集,而

y?X?{x}? Vu?是一个可数集,矛盾.

从而X不满足第一可数性公理. ………………………………8分

9、设X是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X不满足第一可数性公理.

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证明:若X满足第一可数公理,则在x?X处,有一个可数的邻域基,设为V ,因为X是有限补空间,x 因此对?y?X,y?x,X?{y}是x的一个开邻域,从而? Vy?V x ,使得Vy?X?{y}.

于是{y}?Vy, …………………………………………………4分 由上面的讨论我们知道:

?X?{x}? 因为Xy?X?{x}? {y}?y?X?{y}? Vy?

?{x}是一个不可数集,而

y?X?{x}? Vu?是一个可数集,矛盾.

从而X不满足第一可数性公理. ………………………………8分

10、设X,Y是两个拓扑空间,f:X?Y是一个满的连续开映射.X满足第二可数性公理,证明:Y也

满足第二可数性公理.

证明:设X满足第二可数性公理,B是它的一个可数基.由于f:X?Y是一个开映射,

B ?{f(B)|B?B}是由

Y中开集构成的一个可数

族. …………………………………………………………3分 下面证明B是Y的一个基.设U是Y的任意开集,则f使得f?1?1(U)是X中的一个开集.因此存在B 1?B,

(U)?B?B 1B.由于f是一个满射,所以有U?f(f?1(U))?B?B 1f(B),从而U是B中

某些元素的并,故B是Y的一个基.这说明Y也满足第二可数性公理. ……8分

11、设X,Y是两个拓扑空间,f:X?Y是一个满的连续开映射.X满足第一可数性公理,证明:Y也

满足第一可数性公理.

证明:对?y?Y,由于f:X?Y是一个满射,所以存在x?X,使得f(x)?y,由于X满足第一可数性公理,故在点x处存在一个可数邻域基,设为V x,又由于f:X?Y是一个开映射,则是Y中点y的一个可数邻域族. …………3分 V y ?{f(V)|V?Vx }下面证明V y是Y中点y的一个邻域基.设U是Y中点y的任意邻域,则f域.因此存在V?V x,使得V?f?1?1(U)是X中点x的一个邻

(U).因此f(V)?U,从而V y是Y中点y的一个邻域基.这说明

Y也满足第一可数性公理. ……………………………………………………8分 12、A是满足第二可数性公理空间X的一个不可数集。求证:A至少有一个凝聚点.

证明:若A没有凝聚点,则对任x?A,一定存在x的一个邻域Ux,

使得:Ux?A?{x},由于X满足第二可数性公理,设B是它的可数基,故一定存在一个Bx?B,

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