大学 点集拓扑练习题及答案

从而A有有限子覆盖{A1,?,An},因此Y是X的一个紧致子集. ………………8分

29、设X是一个正则空间,A是X的一个紧致子集.证明:A也是X的一个紧致子集.

证明:设A是任意一个由X中的开集构成的A的覆盖,因此A也是A的一个覆盖,由于A是X的紧致子集,从而A有有限个成员A1,?,An使得?Ai?A. …………………………………4分

i?1n由于A是正则空间的紧致子集,从而A有一个开邻域U,使得UA有有限子覆盖{A1,?,??Ai,从而有?Ai?A,从而

i?1i?1nnAn},因此A是X的一个紧致子集. ………………………………8分

A?A30、设X是一个Hausdorff空间,A 是它的一个非空集族,由X的紧致子集构成,证明:的一个紧致子集.

证明:对于任意A?A,易知A是一个闭集,从而集. ………………………………………………………4分 取A0?A,则有

A?AA?AA是XA是X的一个闭

由于A0是紧致的,从而是A0的一个紧致子集,易知A?A0,

A?AA也是X的一个紧致子集. ………8分

31、设f:X?Y是连续的一一对应,其中X是紧致空间,Y是一个Hausdorff空间,证明f:X?Y是一个同胚映射.

证明:要证明f:X?Y是一个同胚映射, 只需证明f?1:Y?X连续,进而只需证明f是闭映射.

设A是X的闭集,由X是紧致空间,从而A是X的一个紧致子集,故f(A)是Y的一个紧致子集,……4分

由于Y是一个Hausdorff空间,因此f(A)是Y的一个闭集,从而f是闭映射. …………………………………………………………8分

32、Y是拓扑空间X的子空间,A是Y的紧致子集,证明A是X的紧致子集.

证明:对于A的由X的开集构成的任一开覆盖A ,即A?B?AB,这样,就有A =A?Y ?B?A(B?Y),

若令A?{B?Y|B?A} , A就是由Y的开集构成的A的一个开覆盖,……………………………3分 由于

~A是Y的紧致子集,必有有限的子覆盖B1?Y,B2?Y,......Bn?Y,即

iA?i?1,2,...n?(B?Y)=(i?1,2,...,n?B)?Y,从而A??B,于是{B,B,...,Bii12n}就是A的由X的开集构成的开

i?1,2,...,n覆盖,且是A的一个子覆盖,故A为X的紧致子集. ………………………………………………………8分

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33、Y是拓扑空间X的子空间,若A是X的紧致子集,证明A是Y的紧致子集.

证明:对A的任意由Y的开集构成的开覆盖B,即A?存在X的开集AB,使得B?AB?Y,

于是{AB|B?B,B?AB?Y}就是A的由X的开集构成的开覆盖,…3分 从而必有有限的子覆盖{AB1,AB2,......ABm},即 A?Bij?1,2,...,mB?B?B,由于Y是X的子空间,对每一个B?B,必

?A,当然有

A?A?Y?(Bjj?1,2,...,m?A)?Y=

j?1,2,...,m?(ABj?Y)?j?1,2,...,m?Bj,

即 { B1,B2,...,Bm}为A的由Y的开集构成的有限开覆盖,

且为B的子覆盖。故A为Y的紧致子集. ………………………8分 34、设X是一个Hausdorff空间.如果A是X的一个不包含点x?X的紧致子集,则点x和紧致子集A分别有开邻域U,V使得U?V??.

证明:设A是X的一个紧致子集,x?A?.对于每一个y?A,由于X是一个Hausdorff空间,故存在

x的一个开邻域

Uy和

y的一个开邻域

Vy使得

Uy?Vy??. ………………………………………………4分

集族{ Vy|y?A }显然是由X中的开集构成的A的一个覆盖,它有一个有限子覆盖,设为

nn{ Vy1,Vy2,,Vyn},令U?i?1Uyi和V?i?1Vy,它们分别是点x和A的开邻域,且易知

iU?V??. ……………8分

35、证明Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭子集.

证明:设A是Hausdorff空间X的一个紧致子集,设对于任意x?A,有x和A的开邻域U和V使

得U?V??, …………………4分

从而U?(A?{x}??),故x?d(A),所以d(A)?A,即

A是一个闭

集.………………………………………………………………8分 36、证明每一个紧致的Hausdorff空间都是正则空间.

证明:设A是紧致的Hausdorff空间X的一个闭子集,x是X中不属于集合A的任意一点,由于紧致空间中的闭子集是紧致的,所以A是X的一个紧致子集,…………………………………………4分

从而点x和A分别有开邻域U和V使得U?V??,这说明X是一个正则空间.………………………………………………………8分

37、设X是一个Hausdorff空间.如果A,B是X的两个无交的紧致子集,则它们分别有开邻域U和V使

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得U?V??.

证明:设A,B是X的两个无交的紧致子集,对于?x?A,点x和B分别有开邻域Ux,Vx使得

Ux?Vx??,……………………………4分

显然集族{ Ux|x?A }是紧致子集A的一个覆盖,它由X中的开集构成,由A是一个紧致子集,所

nn以它有一个有限子覆盖,设为{Ux,,Ux},令U?Ux,V?Vx,易知U?V??. ……8

1ni?1ii?1i23

得分 阅卷人 一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分,

共18分)

1、已知X?{a,b,c,d,e},下列集族中, 是X上的拓扑.…… ( )

① T?{X,?,{a},{a,b},{a,c,e}} ② T?{X,?,{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,e}} ③ T?{X,?,{a},{a,b}}

④ T?{X,?,{a},{b},{c},{d},{e}}

2、已知X?{a,b},拓扑T?{X,?,{a}},则{a}是 ……………… ( ①φ ② X ③ {a} ④ {b} 3、在实数空间R中给定如下等价关系:

x~y?x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[1],[2],[3]},则Y的商拓扑是 ( ① {?,Y,{[3]},{[2],[3]}} ② {?,Y,{[3]}} ③ {?,Y,{[3]},{[1],[2]}} ④ {?,Y}

4、下列拓扑学的性质具有可遗传性的是 ……………………… ( ①连通性 ② T2 ③ 正则 ④正规

5、设X?{1,2},T?{X,?,{2}},则(X,T)是 ………………( )① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ T3

6、下列拓扑学的性质具有有限可积性的是 …………………… ( )① 连通性 ② 紧致性 ③ 正则性 ④ 可分性

1、③ 2、② 3、① 4、②③ 5、① 6、①②③④ 得分 阅卷人 二、简答题(每题4分,共32分)

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