概率论与数理统计标准作业纸答案
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
一、单选题
1.设f(x)、F(x)分别表示随机变量X的密度函数和分布函数，下列选项中错误的是（ A ）
（A） 0?f(x)?1 （B） 0?F(x)?1
（C）
?????f(x)dx?1 （D） f(x)?F'(x)
2.下列函数中，可为随机变量X的密度函数的是（ B ）
?sinx, （A） f(x)???0,??sinx,（C） f(x)????0，0?x??其它??sinx, （B）f(x)????0,0?x?其它?2
0?x?3?2 （D）f(x)?sinx,???x??? 其它?0,x?(?)?2?x3.设F(x)??,(?)?x?2,当(*)取下列何值时,F(x)是连续型随机变量的分布函
?4??1,x?2数.（ A ）
(A) 0 (B) 0.5 (C) 1.0 (D)1.5 4.在区间??1,2?上服从均匀分布的随机变量X的密度函数是（ B ）
?3,（A） f(x)???0, （C） f(x)?3,?1?x?2其它?1?, （B）f(x)??3??0,?1?x?2其它
1,???x??? 35.服从参数为0.5的指数分布的随机变量X的密度函数是（ C ）
???x??? （D）f(x)??2e?2x, （A） f(x)???0,x?0x?0 （B） f(x)?2e?2x,???x???
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x?1?12?e, （C） f(x)??2?0,?2x?0x?0x1?12f(x)?e, （D）
2???x???
6.设X~N(?,?),那么当?增大时，则P(X????)（ C ） (A)增大 (B)减少 (C)不变 (D)增减不定 7.随机变量X~N(?,1),且P{X?2}?P{X?2},则??（ B ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
二、填空题
1.设连续随机变量X的分布函数为F(x)?A?Barctanx,(1)A????x???
1111; B? ;(2)P(?1?X?1)? 0.5 ;(3)概率密度f(x)?? . 2?1?x2?2.设随机变量X在在区间??1,2?上服从均匀分布，则 (1)P(?6?x??1)? 0 ; (2) P(?4?x?1)?2 ; 3⑶ P(?2?x?3)? 1 ; (4) P(1?x?6)?1 . 33. 多年统计表明, 某厂生产的电视机的寿命X~e(0.2)(单位: 万小时). 某人购买了一台该厂生产的电视机, 其寿命超过4万小时的概率为e4.设随机变量X~N(100,?0.383 .
2?0.8?0.4493.
),且P(X?103)?0.3085,则P(97?X?103)?
三、计算题
?c?x,?1. 设随机变量X的概率密度：f(x)??c?x,?0,?求：（1）常数c；（2）概率P(X?0.5) .
?1?x?00?x?1 x?1第 14 页
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解：（1）
?0?1(c?x)dx??(c?x)dx?1，c=1
01 (2) P(X?0.5)=
?0?0.5(1?x)dx??(1?x)dx?0.75.
00.52.设随机变量X在区间?2,5?上服从均匀分布，对进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率.
?1?,解：X的概率密度为f(x)??3??0,2?x?5其它，设Y为对X进行三次独立观测时测值
2f(x)dx?. ?332022330则P{Y?2}?P{Y?2}?P{Y?3}?C3p(1?p)?C3p(1?p)?.
273. 设随机变量X的概率密度为
大于3的次数，则Y~b(3,p),其中p?P{X?3}?5f(x)?Ae?x,???x???
求: (1)系数A; (2)P(0?X?1).
????解(1) 因为:
???f(x)dx????Aedx?1
?x所以 A?0.5
1(2) P(0?X?1)=Ae0??x111dx??e?xdx=(1?)?0.316
2e20214.设随机变量X服从正态分布N(1,2)，求下列概率：
(1)P(X?2.2)=0.7275 (2)P(?1.6?X?5.8)=0.8950 (3)P(X?3.5)=0.8822 (4)P(X?4.56)=0.0402 §2.4
随机变量的函数及其分布
一、计算题
1.设随机变量X服从二项分布B(3,0.4)，求下列随机变量函数的概率分布：
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（1）Y?2X?1 （2）Y?X2?X (3)Y?答案(1) Y p (2) Y p (3) Y p 0 0.216 1 0.432 0 0.648 2 0.288 -1 0.216 1 0.432 X(X?1) 23 5 0.064 0.288 6 0.064 3 0.288 ，
6 0.064 ?2x,2.设随机变量X的概率密度f(x)???0,求下列随机变量的概率密度：
0?x?1其它（1）Y?1?2X （2）Y?1?2X (3)Y?X 答案
2?y?1,?（1）fy(y)??2??0,1?y?3?1?y,? （2）fy(y)??2?其它?0,2?1?y?1其它
y?0??0,（3）解：FY(y)?P?Y?y??P?X?y???
P?y?X?y,y?0????当y?0时， FY(y)?P?y?X??y?FX(y)?FX(?y) 1)?12y(fX(y)?fX(?y))?fY(y)?fX(y)当0?12y?fX(?y)(?2y
y?1时，即0?y?1，fX(y)?2y 而?y?0时，fX(?y)?0
?1,?fY(y)???0,0?y?1其它 .
3.设随机变量X的概率密度为
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