概率论与数理统计标准作业纸答案
?2e?2x,f(x)???0,求随机变量Y?2X的概率密度fY(y).
x?0x?0
?e?y,答案 fY(y)???0,y?0y?0
4.设随机变量X的概率密度为:
?x?,0?x?4，fX(x)??8??0,其他
求随机变量 y?2X?8的概率密度. 解:先求出y的分布函数:
FY(y)?P(Y?y)?P(2X?8?y)
y?8y?8???P?X???????2fX(x)dx
2??两边同时对y求导数, 得y?2X?8的概率密度为：
?1?y?8?1y?8?,0??4?2y?81?22?8??fY?y??fX()????
22?0,其它，???y?8,8?y?16???32?0,其它?
第二章 练习题
1.一汽车沿一街道行驶, 需要通过三个均设有红绿路灯信号的路口, 每个信号灯为红和
绿，与其他信号为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显示时间相等, 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数, 求X的概率分布. 解：
X 0 1 2 3 P
1111 2 3 3 22222.在纺织工厂里一个女工照顾800个纱锭，每个纱锭旋转时，由于偶然的原因，纱会被扯断。设在某一段时间内每个纱锭被扯断的概率等于0.005，求在这段时间内断纱次数不大
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于10的概率.
解：设X表示一段时间内断纱的次数，则X~B(800,0.005) 由于n=800足够大，X还近似服从P(4)
4ke?4 P(0?X?10)??=0.997.
k!k?0103. 确定常数c, 使如下函数
成为某个随机变量的概率密度. 解 令
??1 0≤x≤1,?cx, ?g(x)??c(2?x), 1?x≤2,?0, 其它?
3c?2c?c?1, 得c?1. ???0122显然, 非负性g(x)?0(X?(??,??))满足.
g(x)dx??cxdx??c(2?x)dx?21所以, 函数g(x)在c?1条件下可以作为某个连续型随机变量的概率密度. 4.设随机变量X的概率密度
?Ax2e?x，f(x)???0,求：（1）常数A；（2）概率P(X?1). 解：（1）
x?0x?0
??0Ax2e?xdx?A?(3)?2A?1,?A?1 2（2）P(X?1)???112?x5xedx?e?1=0.9197 （分部积分法）. 225.向某一目标发射炮弹，设弹着点到目的地的距离X(m)的概率密度
x?1??xe2500,f(x)??1250?0,?2x?0x?0
如果弹着点距离目标不超过50m时，即可摧毁目标.求：
求：（1）发射一枚炮弹，摧毁目标的概率；
（2）至少应发射多少枚炮弹，才能使摧毁目标的概率大于0.95？
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解：（1）P(X?50)??5001xe1250n?x22500dx?1?e?1?0.6321
（2）1?(1?0.6321)?0.95，解得n?3
6.某仪器有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：h）都服从同一指数分布，
1x?1?600e,?概率密度为：f(x)??600?0,?x?0x?0
试求：在仪器使用的最初的200h内至少有一只电子元件损害的概率.
?x11?600edx?e3 （一只没损害的概率） 解：P(X?200)??200600设A表示最初的200h内至少有一只电子元件损害
3?1?13??P(A)?1??e??1?. e??7. 设随机变量X的概率密度为
fX(x)?求：随机变量Y?1?31,???x???，
?(1?x2)X的概率密度fY(y).
3解：FY(y)?P(X?(1?y))?1??(1?y)3??1dx
?(1?x2)3(1?y)2fY(y)?,???y??? 6???1?(1?y)??8. 设随机变量X服从指数分布e(?)，其中??0，求随机变量函数Y?e的概率密度.
X??e??x,解：fX(x)???0,x?0 其它??0,y?0FY(y)?P?Y?y??P?eX?y???
??P?X?lny?,y?0当y?0时， FY(y)?P?X?lny??FX(lny)
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fY(y)?fX(lny)1 y??lny??y?? 当lny?0时，即y?1，fX(lny)??e??y?(??1), ?fY(y)???0,y?1 y?1第三章 二维随机变量及其分布
§3.1 二维随机变量及其分布
一、单选题
?e?(x?y),x?0,y?0;1.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)??
其他.?0,则P(X?Y)? （ A ）
（A）0.5 （B）0.55 （C） 0.45 （D）0.6
2.二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)表示以下哪个随机事件的的概率？( B ) （A）?X?x??Y?y? （B）?X?x??Y?y?
（C） X?x?y （D）X?x?y
二、填空题
1.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)?A(B?arctan)(C?arctan则系数A=
x2y) 31?2，B=
?2，C=
?2， (X,Y)的联合概率密度为
f(x,y)?6 . 222?(x?4)(y?9)2.已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，R为一平面区域，则(X,Y)的联合分布函数F(x,y)=
??xy????f(x,y)dydx ，P??X,Y??R??
??f(x,y)dxdy，
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