第六章《二次函数》导学案

金城外国语学校初三数学导学案

课题:§6.3 二次函数与一元二次方程(1) 执笔:吴永连 审核:初三数学备课组 学习目标:

1、体会二次函数与方程之间的联系。理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,及何时方程有两个不等的实根,两个相等的实根和没有实根。 2、理解一元二次方程的根就是二次函数y=h(h是实数)图象交点的横坐标. 学习过程:

一、课前预习:

在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题: (1)每个图象与x轴有几个交点?

(2)一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证:一元二次方程x2-2x+2=0有根吗? (3)比较二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有什么关系?

二、学生观察、讨论交流 1、观察二次函数y=x2-2x-3的图像你能确定方程x2-2x-3=0的根吗?

(二次函数y=x2-2x-3的图像与x轴的交点坐标分别是(-1,0) 和(3,0) 由此可知,当x=-1时,y=0即x2-2x-3=0也就是说x=-1是一元二次方程

x2-2x-3=0的一个根;当x=3时,y=0即x2-2x-3=0也就是说x=3是一元二次方程x2-2x-3=0的另

y 一个根) 4

2

2 3 2 1 -4 -3 -2 -1 2、观察二次函数y=x-6x-9的图象说出一元二次方程x-6x-9=0的根情况 3、观察二次函数y=x2-2x+3的图象说出一元二次方程x2-2x+3=0的根情况 y

y 4 4 3

2 1 -1 1 2 3 4 5 6 7 O -1 -2 -3 -4 3 2 1 O 1 2 3 4 x -1 -2 -3 -4 x -1 1 2 3 4 5 6 7 x O -1 -2 -3 -4 三、讨论归纳新知:

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1、二次函数y=ax+bx+c 的 图象与一元二次方程ax+bx+c=0 的根有如下关系: ①二次函数y=ax2+bx+c 的 图象与x轴有两个公共点(x1,0) (x2,0) 时 一元二次方程ax+bx+c=0 就有两个不相等的实数根x1和x2

②二次函数y=ax2+bx+c 的 图象与x轴有且只有一个公共点(x1,0)时 一元二次方程ax+bx+c=0 就有两个相等的实数根x1=x2

2

③二次函数y=ax+bx+c 的 图象与x轴没有公共点时 一元二次方程ax2+bx+c=0 就有没有实数根;

反之根据一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况,可以知道二次函数y=ax2+bx+c 的 图象与x轴位置关系

2.你能利用a、b、c之间的某种关系判断二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴何时有两个交点、一个交点,何时没有交点? 四、例题讲解

例1、已知二次函数y=kx2-7x-7的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围为 .

例2、抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-3,0),对称轴为x=-1,顶点C到x轴的距离为2,求此抛物线表达式. 五、课堂训练

1.抛物线y=a(x-2)(x+5)与x轴的交点坐标为 2.抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个交点,则m=

3.已知抛物线y=ax2+bx+c的系数有a-b+c=0,则这条抛物线经过点 4.二次函数y=kx2+3x-4的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围 5.抛物线y=3x2+5x与两坐标轴交点的个数为( )

A.3个 B.2个 C.1个 D.无

6.若a>0,b>0,c>0,b2-4ac>0,那么抛物线y=ax2+bx+c经过

象限.

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7.抛物线y=x2-2x-8的顶点坐标是 __与x轴的交点坐标是________.

2

8.抛物线y=3x+mx+4与x轴只有一个交点,则m= .

9.在平原上,一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)与飞行时间x(s)的关系满足y=-15x2+10x.

(1)经过多长时间,炮弹达到它的最高点?最高点的高度是多少? (2)经过多长时间,炮弹落在地上爆炸?

10.已知抛物线y=mx+(3-2m)x+m-2(m≠0)与x轴有两个不同的交点. (1)求m的取值范围;

(2)判断点P(1,1)是否在抛物线上;

11.已知二次函数y=x2+mx+m-2.求证:无论m取何实数,抛物线总与x轴有两个交点.

2

金城外国语学校初三数学导学案

课题:§6.3 二次函数与一元二次方程(2) 执笔:汪宪宜 审核:初三数学备课组

1.抛物线y=a(x-2)(x+5)与x轴的交点坐标为 则它的表达式为

象限.

2.已知抛物线的对称轴是x=-1,它与x轴交点的距离等于4,它在y轴上的截距是-6,3.若a>0,b>0,c>0,△>0,那么抛物线y=ax2+bx+c经过 4.抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标是

2

5.若抛物线y=2x-(m+3)x-m+7的对称轴是x=1,则m= 6.抛物线y=2x+8x+m与x轴只有一个交点,则m=

2

. . .

7.已知抛物线y=ax2+bx+c的系数有a-b+c=0,则这条抛物线经过点 8.二次函数y=kx2+3x-4的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围 9.抛物线y=x2-2ax+a2的顶点在直线y=2上,则a的值是 10.抛物线y=3x2+5x与两坐标轴交点的个数为( )

A.3个

B.2个

2

C.1个 D.无

ab?c?bc?a?ca?b11.如图1所示,函数y=ax-bx+c的图象过(-1,0),则是( )

A.-3

B.3

C.

12的值

D.-

12

12.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2所示,则下列关系正确的是( )

bbbbA.0<-

2a<1 B.0<-

2

2a<2 C.1<-

2a<2 D.-

2a=1

13.已知二次函数y=x+mx+m-2.求证:无论m取何实数,抛物线总与x轴有两个交点. 14.已知二次函数y=x2-2kx+k2+k-2.

(1)当实数k为何值时,图象经过原点?

(2)当实数k在何范围取值时,函数图象的顶点在第四象限内? 15.已知抛物线y=mx2+(3-2m)x+m-2(m≠0)与x轴有两个不同的交点.

(1)求m的取值范围;

(2)判断点P(1,1)是否在抛物线上;

(3)当m=1时,求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标,并过P′、Q、P三点,画出抛物线草图.

16.已知二次函数y=x-(m-3)x-m的图象是抛物线,如图2-8-10. (1)试求m为何值时,抛物线与x轴的两个交点间的距离是3? (2)当m为何值时,方程x2-(m-3)x-m=0的两个根均为负数?

(3)设抛物线的顶点为M,与x轴的交点P、Q,求当PQ最短时△MPQ的面积.

2

17.在平原上,一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)与飞行时间x(s)的关系满足y=-

15x2+10x.

(1)经过多长时间,炮弹达到它的最高点?最高点的高度是多少? (2)经过多长时间,炮弹落在地上爆炸?

18.已知抛物线y=x2-(k+1)x+k.(1)试求k为何值时,抛物线与x轴只有一个公共点;(2)如图,若抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴的负半轴交于点C,试问:是否存在实数k,使△AOC与△COB相似?若存在,求出相应的k值;若不存在,请说明理由.

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