小结：利用数形结合的方法，学生表象清晰，记忆深刻，对算理的理解透彻，既知其然又知其所以然。事实上也是形象思维与抽象思维协同应用的过程，其教学效果显而易见。因此在小学阶段渗透数形结合的思想对学生的现实学习和继续学习都有着很重要的意义。当然在具体学习与教学中不止以上几个例子，还需要我们在实践中举一反三，灵活运用。
2.2 数形结合思想在初中数学教学中的应用
教师在数学教学过程中，必然涉及很多的概念，数学概念是数学思维的细胞，它是在感觉、知觉、思维形成表象的基础上，经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加工而逐步形成的理性认识结果，它蕴涵着丰富的思想内涵。在数学教学中，数学教师在无意识中将大部分知识的记忆问题推给了学生。无论是理解数学概念、推导数学公式，还是证明数学定理、解决实际问题，都需要数学记忆的参与。因此，不断地增强数学记忆能力，对于学好、用好数学是很重要的。处于中学阶段的学生对记忆方法理解甚少，更别说对抽象性数学知识的记忆了，他们只好在机械记忆的基础上，不断地摸索自己的记忆方法。但由于学习时间和心理发展特征的限制，很多人只能靠机械记忆，基础好和主动性强的学生会在以后逐步的应中，慢慢地反当大脑中的数学知识。而基础不好、主动性差的学生则极有可能变为数学学困生。
教师要善于激发学生的“数形结合”兴趣，熏陶学生的“数形结合”意识。“兴趣是最好的老师”，学习数学尤其如此。可以在适当的时间展现数学美本身所蕴涵的数形美感，比如，不妨考虑用新学期的第一节课，重点地去向学生介绍一下数学史方面的知识。你可以从欧几里得的古代《几何原本》，说到诸多数学发现再到近代数学的发展，关键是要举出那些有关数学美的经典事例，如勾股定理、黄金分割等，相信这样的启蒙课对于渴望求知的初中生而言是很必要的[6]。
2.2.1 数形结合思想在初中数学教学中的地位
随着新课程改革的全面展开，各门课程的教材都发生了巨大的改变。以前数学课程被分为“代数”和“几何”两本教材来讲授，而现在合二为一，且教学中几何图形所占的比重有
所增加。“代数”主要研究数据的计算于处理，“几何”主要研究图形的位置、大小等特性，“数”和“形”是数学研究的两个侧面，它们互相渗透，相互转化，使得以代数法研究几何，以几何法研究代数成为可能。
“数形结合”是初中数学的重要思想之一，也是学好数学的关键之一。若能把“数”与“形”很好的结合起来，那么一些看似复杂的问题会迎刃而解。掌握了数形结合思想方法也会使解题手段从“单一”走向“灵活”，体会到数学之美，从而感叹数学之精妙。初中的数学具有很大的实用性和基础性。把握好、运用好数形结合，必定会对其它学习收到意想不到的效果。
2.2.2 数形结合思想在初中数学教学的应用举例
函数是初中数学的重要内容之一，也是学习的一个难点。同时又是“数形结合”的思想方法体现得最充分的一个章节。平面直角坐标系把“点”和“数”对应起来，使抽象的“数”与直观的“形”有了统一，开创了研究数学问题的新途径。而二次函数中抛物线和开口、对称轴、顶点及坐标轴交点更是与系数a,b,c关系密切。
一、以“形”助“数”
根据给出的“数”的结构特点，构造出与之相应的几何图形，或根据已给图形分析数的特点，从而化抽象为直观，使解题过程变得简捷直观。教师在教学时要注意树立数形结合的思想，要按照把复杂问题化简单的原则培养学生的空间概念，提高学习兴趣。
例2.2.1 实数a,b在数轴上的位置如图所示,
· a 化简:a?b?(b?a)=__________.
[解析]由图可知a?0,b?0,a?b?0,b?a?0
所以原式=?a?b?b?a??2a.
[点评]解题的关键是读懂数轴，把图形语言转化成解题所要求的数据。借助数轴可以解决实数问题，还可以解决不等式(组)问题。
例2.2.2 如图,已知二次函数y?ax?4x?c的图象经过点A和点B。 (1) 求该二次函数的表达式；
(2) 写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
(3) 点P(m,m)与点Q均在该函数图象上(其中m?0)，且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离。
22· 0
图2.2.1
· b
[解析](1)观察图象,得A(-1,-1),B(3，-9).
y －1 O 3 ?a?1,??1?a?4?c,得方程组?解得?
?c??6.??9?9a?12?c.∴该二次函数的表达式为y?x2?4x?6. (2)对称轴为x?2；顶点坐标为(2,-10).
(3)将(m,m)代入表达式,解方程得m1??1,m2?6.
· －1 A x
∵m?0, ∴m?6.∵点P与点Q关于对称轴x?2对称, －9 ∴点Q到x轴的距离为6.
· B 图2.2.2
[点评]解题的关键是通过点的坐标把握函数的图象及其性质。借助平面直角坐标系，把数量关系通过图象直观化、形象化、动态化，同时又可以根据图象特征及相关知识探究隐含的数量关系，将图象特征具体化。
二、以“数”助“形”
以“数”助“形”即有关“形”的问题可借助数式的推演，使之量化，从而准确揭示“形”的性质。
例2.2.3 本市新建的滴水湖是圆形人工湖.为测量该湖的半径,小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱,使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等,并测得BC长为240米,A到BC的距离为5米,如图1所示.请你帮他们求出滴水湖的半径.
[解析]如图2,设圆心为点O,连结OB、OA,OA交线段BC于点D.
? ， ∴OA⊥BC,且BD=DC=因为AB=AC, 所以?AB= BC由题意,知DA=5. 设OB=x米. 在Rt△BDO中, 因为OB2?OD2?BD2, 所以x2?(x?5)2?1202. 得x?1442.5 .
1BC=120. 2O ·
· B · A
· C · B D · A
· C
图2.2.3.1
图2.2.3.2
所以,滴水湖的半径为1442.5米.
[点评]解题的关键是正确将实际问题所反映的数量关系转化为几何图形语言.借助勾股定理、垂径定理、三角形相似的判定定理与性质定理等几何图形的知识,可以实现代数与几何
之间的相互转化.
初中阶段学生对于函数性质的学习，客观的说是有一定的难度的，所以在具体教学中，必须有意识的去体现和解释数学知识中的抽象概念和形象事物之间的联系，提高学生的数学思维。
2.3 数形结合思想在高中数学教学中的应用
2.3.1数形结合思想在高中数学教学中的地位 一、数形结合思想在高中数学教学中的地位
(1) 从新课程标准的要求来看数形结合思想。《数学新课程标准》对数学中的“双基”具体来说是：强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想都要贯穿高中教学的始终，由于数学的高度抽象性，要注重体现概念的来龙去脉，在教学中要引导学生经历从具体实例中抽象出数学概念的过程；重视基本技能的训练，要重视运算、作图、推理、处理数据以及科学计算器的使用等基本技能训练[3]。新课程把数形结合思想作为中学数学中的重要思想，要求教师能充分挖掘它的教学功能和解题功能。
(2) 从新课程数学内容的特点来看数形结合思想。新高中数学课将精选出代数、几何等基础知识综合为一门学科，这样有利于精简教学内容，有利于数学各部分内容相互的联系，有利于数学思想方法的相互渗透。新教材充实了平面向量和空间向量，这些改革都有利于“形”与“数”的结合。利用数形结合有利于进行初、高中数学教学的过渡衔接：初中数学的教学内容较具体，模仿性的练习较多，而高中数学的内容抽象性较强，强调对数学概念的理解基础上的运用，对思维能力、运算能力、空间想象能力要求较高。从高一数学内容来看，通过数形结合，从具体到抽象恰好符合学生的认知规律。
(3) 从高考题设背景来看数形结合思想。随着数学教育改革不断深入，高考命题朝着多样性和多变性发展，增加了应用题、开放题、情景题，强调检测学生的创造能力。重在考查对知识理解的准确性、深刻性，重在考查知识的综合运用，着眼于对数学思想方法、数学能力的考查。而数形结合是中学数学中最重要、最基本的数学思想方法之一，考查数形结合的应用能力最能展示学生能否进行“数学的思维”。数形结合在每年的高考中都是一道亮丽的风景线，如果能从图形特征中发现数量关系，又能从数量关系中发现图形特征，并准确构图，那么很快就能得出正确答案。
二、数形结合思想在高中数学教学中的作用
(1) 有助于学生形成和谐、完整的数学概念。数学教材中的概念是极其浓缩的知识点，是感性认识飞跃到理性认识的结晶，是多级抽象的结果，并且只是以文字形式给出了相应的