勾股定理及其应用

由折叠可得:AP=AB,PO=BO,∠PAO=∠BAO.∠APO=∠B. ∴∠APO=90°. ∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC. ∵∠D=∠C,∠APD=∠POC. ∴△OCP∽△PDA. ②∵△OCP与△PDA的面积比为1:4, OC?OP?CP11∴PDPADA?4?2. ∴PD=2OC,PA=2OP,DA=2CP. ∵AD=8,∴CP=4,BC=8. 设OP=x,则OB=x,CO=8﹣x. 在Rt△PCO中, ∵∠C=90°,CP=4,OP=x,CO=8﹣x, 29

∴x2=(8﹣x)2+42. 解得:x=5. ∴AB=AP=2OP=10. ∴边AB的长为10. (2)如图1, ∵P是CD边的中点, 1∴DP=2DC. ∵DC=AB,AB=AP, 1∴DP=2AP. ∵∠D=90°, 30

DP1∴sin∠DAP=AP=2. ∴∠DAP=30°. ∵∠DAB=90°,∠PAO=∠BAO,∠DAP=30°, ∴∠OAB=30°. ∴∠OAB的度数为30°. (3)作MQ∥AN,交PB于点Q,如图2. ∵AP=AB,MQ∥AN, ∴∠APB=∠ABP,∠ABP=∠MQP. ∴∠APB=∠MQP. ∴MP=MQ. ∵MP=MQ,ME⊥PQ, 31

1∴PE=EQ=2PQ. ∵BN=PM,MP=MQ, ∴BN=QM. ∵MQ∥AN, ∴∠QMF=∠BNF. 在△MFQ和△NFB中, ∠QMF=∠BNF ∠QFM=∠BFN QM=BN ∴△MFQ≌△NFB. ∴QF=BF. 32

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