第四讲 万有引力与航天
——课前自测诊断卷
考点一 天体质量和密度的计算 1.[考查卫星运行及天体质量的计算] [多选]仅根据万有引力常数G和下面的数据，可以计算出地球质量M的是( ) A．月球绕地球运行的周期T1及月球中心到地球中心的距离R1 B．地球同步卫星离地面的高度
C．地球绕太阳运行的周期T2及地球到太阳中心的距离R2 D．人造地球卫星绕地球运行的速度v和运行周期T
解析：选AD 月球绕地球做圆周运动，地球对月球的万有引力提供圆周运动的GMm?2π?2
向心力2＝m??R1，已知月球绕地球运行的周期T1及月球中心到地球中心的距离
R1?T?R1，则可以求出中心天体地球的质量，故A正确；地球同步卫星绕地球做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期，T＝24 h，根据万有引力提供向心力G
Mm
R＋h
2
＝
4π24π2
m2(R＋h)，可得地球质量：M＝2(R＋h)3，因不知道地球半径，无法求出地球TGT质量，故B错误；利用地球绕太阳运行的周期T2及地球到太阳中心的距离R2可以求出太阳的质量，不能求出地球的质量，故C错误；利用公式v2
＝m可求出中心天体地球的质量，故D正确。
r
2．[考查天体密度的计算]
假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为( )
A.3π
g0－g
GT2g0
3πg0
B.2
GTg0－g
GMmGMm?2π?2
??＝mr及公式r2r2?T?
3πC.2 GT3πg0D.2 GTg
Mm
解析：选B 根据万有引力与重力的关系解题。物体在地球的两极时，mg0＝G2，
RMm?2π?2
物体在赤道上时，mg＋m??R＝G2，以上两式联立解得地球的密度ρ＝
R?T?3πg0
GT2g0－g
。故选项B正确，选项A、C、D错误。
3．[考查天体密度的计算与卫星运动规律的分析]
[多选]2020年1月3日，嫦娥四号成功着陆在月球背面南极－艾特肯盆地冯·卡门撞击坑的预选着陆区。它是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第四颗人造探月卫星，主要任务是更深层次、更加全面的科学探测月球地貌、资源等方面的信息，完善月球档案资料。已知月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，引力常量为G，嫦娥四号离月球中心的距离为r，绕月周期为T。根据以上信息可求出( )
3πr3
A．月球的平均密度为23
GTRB．月球的平均密度为
3π GT2
r2g R
C．嫦娥四号绕月运行的速度为 D．嫦娥四号绕月运行的速度为
2πr
T
GMm＝r2
解析：选AD “嫦娥四号”绕月运行时，根据万有引力提供向心力，有
23
4πrGT24π2r4π2r3M3πr3
m2，解得：M＝，月球的平均密度为：ρ＝＝＝，故A正确，BTGT2V4πR3GT2R3
3错误；月球表面任意一物体重力等于万有引力mg＝G
Mm2
2，则有：GM＝gR，“嫦娥四R
Mmv
号”绕月运行时，万有引力提供向心力G2＝m，得：v＝
rr
2
GM
，联立解得：v＝r
gR22πr2πr，故C错误；由公式v＝，所以“嫦娥四号”绕月运行的速度为v＝，rTT故D正确。
4．[考查天体密度的计算与比较]
据美国宇航局消息，在距离地球40光年的地方发现了三颗可能适合人类居住的类地行星，假设某天我们可以穿越空间到达某一类地行星，测得以初速度10 m/s竖直上抛一个小球可到达的最大高度只有1 m，而其球体半径只有地球的一半，则其平均密度和地球的平均密度之比为(取地球重力加速度g＝10 m/s)( )
A．5∶2 C．1∶10
B．2∶5 D．10∶1
2
v02GMR2v024R2v023解析：选D 根据h＝和g＝2可得，M＝，即ρπR＝，所以行星
2gR2Gh32Gh3v021
平均密度ρ＝∝，在地球表面以初速度10 m/s竖直上抛一个小球可到达
8πGRhRhv02
的最大高度h地＝＝5 m。据此可得，该类地行星和地球的平均密度之比为10∶1，
2g地选项D正确。
考点二 卫星运行参量的比较 5.[考查利用开普勒定律比较不同圆轨道卫星的周期] 如图所示，A、B是绕地球做匀速圆周运动的两颗卫星，A、B两卫星与地心的连线在相等时间内扫过的面积之比为k，不计A、B两卫星之间的引力，则A、B两卫星的周期之比为( )
A．k3 C．k
B．k2 2
D．k
3
解析：选A 设卫星绕地球做圆周运动的半径为r，周期为T，则在t时间内与
tSArATBrArB2
地心连线扫过的面积为S＝πr，即＝2＝k，根据开普勒第三定律可知2＝2，
TSBrBTATATBTA
联立解得＝k3，A正确。
TB
6．[考查不同椭圆轨道卫星运行参量的比较]
[多选](2020·南京、盐城二模)如图所示，甲、乙两颗人造卫星在各自的椭圆轨道上绕地球运行，两轨道相切于P点。不计大气阻力，下列说法正确的是( )
A．甲的机械能一定比乙的大 B．甲的运行周期比乙的大
C．甲、乙分别经过P点的速度大小相等 D．甲、乙分别经过P点的加速度大小相等
解析：选BD 两颗卫星的质量关系不确定，则不能确定两颗卫星的机械能的大小关系，选项A错误；甲的半长轴大于乙的半长轴，根据开普勒第三定律可知，甲的运行周期比乙的大，选项B正确；乙经过P点时加速才能进入甲的轨道，故甲、乙分别经过P点的速度大小不相等，选项C错误；根据a＝过P点的加速度大小相等，选项D正确。
7．[考查赤道上的物体与轨道卫星状态参量的比较]
我国在太原卫星发射中心用“长征四号丙”运载火箭成功将“遥感二十九号”卫星发射升空。该卫星为近地轨道卫星，轨迹可视为半径与地球半径相等的圆。卫星在运行过程中，与静止在赤道上的物体相比较( )
A．卫星的线速度较大 C．卫星的角速度较小
B．卫星的周期较长 D．卫星的向心加速度较小
GM
可知，甲、乙分别经r2
233
解析：选A 卫星为近地轨道卫星，则其速度为第一宇宙速度，是最大的运行速度，周期小于自转周期，角速度大于自转角速度，故A正确，B、C错误；卫星由万有引力产生加速度，而静止在赤道上的物体合力小于万有引力，则卫星的向心加速度大于物体，故D错误。