第12章 动能定理
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第12章 动能定理
一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)
1．圆轮纯滚动时，与地面接触点的法向约束力和滑动摩擦力均不做功。 ( √ ) 2．理想约束的约束反力做功之和恒等于零。 ( √ ) 3．由于质点系中的内力成对出现，所以内力的功的代数和恒等于零。 ( × ) 4．弹簧从原长压缩10cm和拉长10cm，弹簧力做功相等。 ( √ ) 5．质点系动能的变化与作用在质点系上的外力有关，与内力无关。 ( × ) 6．三个质量相同的质点，从距地相同的高度上，以相同的初速度，一个向上抛出，一个水平抛出，一个向下抛出，则三质点落地时的速度相等。 ( √ )
7．动能定理的方程是矢量式。 ( × ) 8．弹簧由其自然位置拉长10cm，再拉长10cm，在这两个过程中弹力做功相等。 ( × ) 二、填空题
1．当质点在铅垂平面内恰好转过一周时，其重力所做的功为 0 。 2．在理想约束的条件下，约束反力所做的功的代数和为零。
3．如图12.19所示，质量为m1的均质杆OA，一端铰接在质量为m2的均质圆轮的轮心，另一端放在水平面上，圆轮在地面上做纯滚动，若轮心的速度为vo，则系统的动能T? 1322。 m1v0?m2v0244．圆轮的一端连接弹簧，其刚度系数为k，另一端连接一重量为P的重物，如图12.20
1所示。初始时弹簧为自然长，当重物下降为h时，系统的总功W?Ph?kh2。
2 O O vO A k P h 图12.19 图12.20
5．如图12.21所示的曲柄连杆机构，滑块A与滑道BC之间的摩擦力是系统的内力，设已知摩擦力为F且等于常数，则曲柄转一周摩擦力的功为?4Fr。
6．平行四边形机构如图12.22所示，O1A?O2B?r，O1A//O2B，曲柄O1A以角速度?5转动。设各杆都是均质杆，质量均为m，则系统的动能T =mr2?2。
6
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理论力学
7．均质杆AB，长为l，质量为m，A端靠在墙上，B端以等速率v沿地面运动，如图
212.23所示。在图示瞬时，杆的动能为mv2。
9 r ? O A C A B ? O1 B O2
图12.21 图12.22
8．在图12.24中，均质摆杆OA，质量为m1?5kg，长l?1.2m；物块B的质量为m2?15kg，由杆OA通过套筒带动在水平面内运动。设图示瞬时，杆OA的角速度??1rad/s，h?0.9m，则杆OA的动能为 1.2J，滑块B的动能为6.075J。
A A
B ? 30? 60?
图12.23 图12.24
B h v O 三、选择题
1．若质点的动能保持不变，则 C 。
(A) 其动量必守恒 (C) 质点必做匀速运动
(B) 质点必做直线运动 (D) 质点必做变速运动
2．汽车靠发动机的内力做功， D 。
(A) 汽车肯定向前运动 (B) 汽车肯定不能向前运动 (C) 汽车动能肯定不变 (D) 汽车动能肯定变
3．如图12.25所示，半径为R、质量为m1的均质滑轮上，作用一常力矩M，吊升一质量为m2的重物，则重物上升高度h的过程中，力矩M的功W= A 。
(A) Mh R(B) m2gh
(C) Mh?m2gh R (D) 0
4．均质圆盘质量为m，半径为R，在水平面上作纯滚动，设某瞬时其质心速度为v0，则此时圆盘的动能是 B 。
(A)
12mv0 2(B)
32mv0 4(C)
32mv0 22(D) mv0
5．如图12.26所示，三棱柱B沿三棱柱A的斜面运动，三棱柱A沿光滑水平面向左运
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第12章 动能定理
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动。已知A的质量为m1，B的质量为m2；某瞬时A的速度为v1，B沿斜面的速度为v2。则此时三棱柱B的动能T = D 。
1 m2v22
21(C) m2(v12?v22)
2(A)
M 1m2(v1?v2)2 21(D) m2[(v1?v2cos?)2?v22sin2?]
2(B)
O R B A v1 v2 ? 图12.25 图12.26
6．如图12.27所示，两均质轮质量为m，半径均为R，用绕在两轮上的绳系在一起。设某瞬时两轮的角速度分别为?1和?2，则系统的动能T = D 。
(A)
1?1122?2?mR??1?m?R?2? 2?22? O R ?1 1?11?1??(B) ?mR2??12??mR2??22
2?22?2??(C)
1?111?122?22?2mR??mR????2??1?mR??2 2?222?2??1?111?122?22?2mR??mR??R????12??1?mR??2 2?222?2??R ?2 (D)
四、计算题
图12.27
12-1 摆锤质量为m，摆长为r0，如图12.28所示。求摆锤由点A至最低位置点B，以及由A点经过最低位置点B到点C的过程中摆锤重力所做的功。
解：根据重力做功的公式，摆锤由点A至最低位置点B，摆锤重力所做的功为 WAB?mg(r0cos??r0)?mgr0(1?cos?)
摆锤由A点经过最低位置点B到点C的过程中摆锤重力所做的功为
WAC?mg(r0cos??r0sin?)?mgr0(cos??sin?)
12-2 重量为2000N的刚体在已知力F?500N的作用下沿水平面滑动，力F与水平面
夹角??30?。如接触面间的动摩擦系数f?0.2，求刚体滑动距离s?30m时，作用于刚体各力所做的功及合力所做的总功。
解：计算滑动摩擦力
Fd?fFN?f(mg?Fsin?)?0.2?(2000?500sin30o)?350N
刚体滑动距离s?30m时，滑动摩擦力所做的功为
WFd??Fds??350?30??10500(J) 主动力F所做的功为
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理论力学
WF?Fscos30o?500?30cos30o?12990.4(J) 其它力不做功。 合力所做的总功为
W合?WF?WFd?2490.4(J)
12-3 弹簧原长为l0，刚度系数为k?1960N/m，一端固定，另一端与质点M相连，如图12.29所示。试分别计算下列各种情况时弹簧力所做的功。 (1) 质点由M1至M2；(2) 质点由M2至M3；(3) 质点由M3至M1。
A mg ? r0 ? C 2cm 2cm 3cm O l0 B M3 O M1 M2 x
图12.28 图12.29
解：根据弹力做功的公式，计算下列各种情况时弹簧力所做的功。 （1）质点由M1至M2，弹簧力所做的功为
119602 W12?k(?12??2)??(0.022?0.052)??2.06(J)
22（2）质点由M2至M3，弹簧力所做的功为
1196022W23?k(?2??3)??[0.052?(?0.02)2]?2.06(J)
22 （3）质点由M3至M1，弹簧力所做的功为
119602W31?k(?3??12)??[(?0.02)2?0.022]?0
2212-4 计算图示各物体的动能。已知物体均为均质，其质量为m，几何尺寸如图12.30所示。
O ? O ? R C R l R C ? O vC A (a) (b) (c) (d)
图12.30
解：（a）杆子作定轴转动，它的动能为
1111 T?JO?2??ml2?2?ml2?2
2236 （b）圆盘绕O点作定轴转动，它的动能为
1133 T?JO?2??mR2?2?mR2?2
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第12章 动能定理
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（c）圆盘绕O点作定轴转动，它的动能为
1111 T?JO?2??mR2?2?mR2?2
2224 （d）圆盘在水平面上作纯滚动，它的动能为
v121121132 T?mvC ?JC?2?mvC??mR2(C)2?mvC22222R412-5 如图12.31所示，与弹簧相连的滑块M，可沿固定的光滑圆环滑动，圆环和弹簧都在同一铅直平面内。已知滑块的重量W?100N，弹簧原长为l?15cm，弹簧刚度系数
求滑块M从位置A运动到位置B过程中，其上各力所做的功及合力的总功。 k?400N/m。
解：根据重力做功的公式，滑块M从位置A运动到位置B过程中，重力所做的功为 W重?Wh?100?0.1?10(J)
根据弹力做功的公式，滑块M从位置A运动到位置B过程中，弹力所做的功为
122 W弹?k(?A??B)
2而?A?0.32?0.12?0.15?0.1662m，?B?0.2?0.15?0.05m，代入上式，可得
140022 W弹?k(?A??B)?(0.16622?0.052)?5.03(J)
22合力的总功为
W合?W重?W弹?15.03(J)
12-6 长为l、质量为m的均质杆OA以球铰链O固定，并以等角速度ω绕铅直线转动，如图12.32所示。若杆OA与铅直线的夹角为?，试求杆的动能。
A O M O B 10cm x ? dx 20cm ? A x
图12.31 图12.32
解：将杆分成许多微段，先计算微段的动能
1mmmx2?2sin2?22 dT?dxv?dx(x?sin?)?dx
2l2l2l整个杆子的动能为
llmx2?2sin2?ml2?2sin2? T?dT? dx?002l612-7 摩擦阻力等于正压力与滑动摩擦系数的乘积。为测定动摩擦系数，把料车置于斜坡顶A处，让其无初速度地下滑，料车最后停止在C处，如图12.33所示。已知h、s1、s2，试求料车运行时的动摩擦系数f。
??解：料车在坡顶A处无初速度地下滑最后停止在C处，在该过程中重力和摩擦力均要
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理论力学
做功，由动能定理，可知它们做功的和等于零。 料车在坡顶A处下滑到C处，重力所做的功为 W重?Wh
式中W为料车的重力。而料车在坡顶A处下滑到C处，摩擦力所做的功为
2?h2?fWs2 W摩??fWcos?s1而cos?s12?h2?s1，即摩擦力所做的功为
W摩??fWs1?fWs2
由动能定理可知，合力的功为零，即
W合?W重?W摩?Wh?fW(s1?s2)?0 解得
h s1?s212-8 如图12.34所示，一不变力偶矩M作用在绞车的均质鼓轮上，轮的半径为r，质量为m1。绕在鼓轮上绳索的另一端系一质量为m2的重物，此重物沿倾角为?的斜面上升。设初始系统静止，斜面与重物间的摩擦系数为f。试求绞车转过?后的角速度。
f? A m1g m2g h v Fd A M Fx F y? s1 B C B ? s2 ? FN
图12.33 图12.34
解：选系统为研究对象，受力分析和运动分析如图所示。绞车转过?，重物向上滑动s?r?的距离。在此过程中，作用在鼓轮上的力偶矩M所做的功为WM?M?，滑动摩擦力所做的功为WFd??Fds??fm2gr?cos?，重物重力所做的功为W重??fm2gr?sin?，而其它的力均不做功。故绞车转过?后，系统所受的全部力做功的和为
?W?M??mgr?(fcos??sin?)
i2初始系统静止，系统的动能T1?0。设绞车转过?后的角速度为?，则重物沿斜面上升的速度为r?，此时系统的动能为
T2??m1r2?2?m2r2?2?(m1?2m2)r2?2 由动能定理T2?T1?12121214?W，有
i
1(m1?2m2)r2?2?M??m2gr?(fcos??sin?) 42M??m2gr?(fcos??sin?)
r(m1?2m2)解得绞车转过?后的角速度为 ??·148 ·
第12章 动能定理
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12-9 两均质杆AC和BC各重为P，长为l，在点C由铰链相连，放在光滑的水平面上，如图12.35所示。由于A和B端的滑动，杆系在铅垂平面内落下。设点C初始时的高度为h，开始时杆系静止，试求铰链C落地时的速度大小。
C h A FNA P P A C B B FNB ?AC vC ?BC
图12.35
解：选系统为研究对象，受力分析如图所示。设点C由高度h下落到地面时的速度为v，而此时A和B两点的速度均为零。即C落到地面时，杆AC和BC的速度瞬心分别为A和B两点。杆AC和BC的角速度为
v?AC??BC?
l由于开始时杆系是静止的，即系统初始时的动能T1?0，铰链C落到地面时，系统的动能为
11P222 T2?JA?AC?JB?BC?v
223g点C由高度h下落到地面时，系统所受的全部力做功为
h Wi?2?P??Ph
2由动能定理T2?T1?Wi，有
?? 解得铰链C落地时的速度
P2v?Ph 3g v?3gh
12-10 两均质杆AB和BO用铰链B相连，杆的A端放在光滑的水平面上，杆的O端为固定铰支座，如图12.36所示。已知两杆的质量均为m，长均为l，在杆AB上作用一不变的力偶矩M，杆系从图示位置由静止开始运动。试求当杆的A端碰到铰支座O时，杆A端的速度。
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P B mg mg 理论力学
P ?AB B vB ?AB B vB ? ? A vA FNA M O FOx FOy ? ? A vA O A O vA
图12.36
解：选系统为研究对象，受力分析如图所示。运动过程中，杆OB绕定轴转动，杆AB作平面运动。由点A、B的速度方向，可知杆AB的速度瞬心如图所示。点B的速度为
vB??ABPB??OBOB 由于PB?OB?l，所以?AB??OB??。当杆的A端碰到铰支座O时，P、B 、A三点共线。点A的速度为
vA??ABPA?2l? 初始时杆系是静止的，即系统初始时的动能T1?0。杆的A端碰到铰支座O时，系统的动能为
1122 T2?JP?AB ?JO?OB22113114?[ml2?m?(l)2]?2?(ml2)?2?ml2?2 2122233杆的A端碰到铰支座O时，系统所受的全部力做功为
ll Wi?M??2mg(?cos?)?M??mgl(1?cos?)
22由动能定理T2?T1?Wi，有
?? 解得两杆转动的角速度为
422ml??M??mgl(1?cos?) 313[M??mgl(1?cos?)]
2lm解得杆的A端碰到铰支座O时，杆A端的速度
?? vA?2l??3[M??mgl(1?cos?)]
m12-11 如图12.37所示曲柄连杆机构位于水平面内。曲柄重为W1，长为r，连杆重为W2，长为l，滑块重为W3，曲柄及连杆均可视为均质细长杆。今在曲柄上作用一不变转矩M，当∠AOB = 90?时，A点的速度为v，求当曲柄转至水平向右位置时A点的速度。
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第12章 动能定理
A M O ·151·
v B W1 FOx FOy W2 W3 B vB FNB O A vB ?OA vA ?AB
图12.37
解：选整个系统为研究对象，受力及运动分析如图所示。在运动的初始时刻，曲柄作定轴转动，连杆作瞬时平动，滑块作平动。当曲柄转至水平向右位置时，由vA及vB方向，根据速度投影定理可知vB?0，即B点为连杆的速度瞬心。通过上面分析，我们可以先计算两位置系统的动能：
1v1W221W32W1?3W2?3W32 T1?JO()2?v?v?v
2r2g2g6gvvW?W2211 T2?JO(A)2?JB(A)2?1vA
2r2l6g在曲柄由∠AOB = 90?位置转至水平向右位置的过程中，各力做功之和为 由动能定理T2?T1??Wi?M??2
?W，有
i 解得A点的速度为
W1?W22W1?3W2?3W32?vA?v?M? 6g6g23M?g?(W1?3W2?3W3)v2 vA?
W1?W212-12 带式输送机如图12.38所示，物体A重量为W1，带轮B、C的重量均为W，半径为R，视为均质圆盘，轮B由电动机驱动，其上受不变转矩M作用。系统由静止开始运动，不计传送带的质量，求重物A沿斜面上升距离为s时的速度和加速度。
A W1 W C FCx A vA C ?C W M B FBx FCy ? FBy B ?B ?
图12.38
解：选系统为研究对象，受力分析和运动分析如图所示。重物A沿斜面上升距离为s
s时，带轮B、C转过的角为??。此过程中，各力做功的代数和为
R
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理论力学
M?W1sin?)s R初始时系统是静止的，即系统初始时的动能T1?0。重物A沿斜面上升距离为s时，
?Wi?M??W1ssin??(假设重物A的速度为vA，则系统的动能可表示为
1W1211W?W222 T2?vA?JB?B?JC?C?1vA
2g222g由动能定理T2?T1??W，有
iW1?W2MvA?(?W1sin?)s （1） 2gR解得重物A沿斜面上升距离为s时的速度为 vA?2gs(M/R?W1sin?)
W1?W如果对（1）式两边同时对时间求导数，可得重物A沿斜面上升距离为s时的加速度为
M/R?W1sin? aA?g
W1?W12-13 如图12.39所示两个相同的均质滑轮，半径均为R，重量均为W，用绳缠绕连接。如动滑轮由静止落下，带动定滑轮转动，求动滑轮质心C的速度vC与下落距离h的关系并求点C的加速度aC。
?O FOx O ?O W A FOx O W FOy A ?C FOy B C FAB FBA B C ?C W aC W vC h vB aB
图12.39
解：分别选整体和两滑轮为研究对象，受力和运动分析如图所示。设动滑轮由静止落下距离h时，动滑轮质心C的速度为vC，此时两轮的角速度分别为?O和?C，角加速度分别为?O和?C。
（1）对于均质滑轮O应用定轴转动微分方程，有
1W2 JO?O?R?O?R?FAB
2g对于均质滑轮C，根据平面运动微分方程，有
1W2 JC?C?R?C?R?FBA
2gW aC?W?FBA
g选绳索为动系，对均质滑轮质心C应用点的复合运动加速度合成定理有 aC?R?O?R?C
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第12章 动能定理
其中：FAB?FBA，联立求解可得aC?·153·
42g。由于系统初始静止，两轮均由g，?O??C?55R静止开始且以等角加速度转动，所以在任意时刻，两轮转动的角速度相等，即有 ?O??C
（2）对于整个系统，应用动能定理，有
1W21122 vC?JC?C?JO?O?Wh （1）
2g22选绳索为动系，对均质滑轮质心C应用点的复合运动速度合成定理有 vC?vB?vCB?R(?O??C) 这样，（1）式可写为 解得
?O??C?动滑轮质心C的速度vC为
vC?8gh 512-14 均质杆AB的质量为m?4kg，其两端悬挂在两条平行等长的绳子上，如图12.40
1W21W221W22R(?O??C)2?R?C?R?O?Wh 2g4g4g1R2gh 5所示。杆AB处于水平位置，设其中一绳突然断了，试求此瞬时另一绳的张力。 解：选均质杆AB为研究对象，受力及运动分析如图所示。绳断开瞬间，?AB?0，vA?0，A端只有切
n向加速度a?法向加速度aAA，
2vA以点A为基点，??0。
CAC D ?由aOx?aOy?a?杆ABA?aOA作质心O的加速度合成图。
FT a?A A ?A作平面运动，应用平面运动微分方程，有
maOy?mg?FT
1lml2?AB?FT 122? aOAaOy aOx O a B mg ?AB 图12.40
补充运动学方程，有
l? aOy?aOA??AB
2联立求解，可得另一绳的张力为
1mg?9.8(N) 412-15 均质杆OA可绕水平轴O转动，另一端铰接一圆盘，圆盘可绕铰A在铅垂平内自由旋转，如图12.41所示。已知杆OA长为l，质量为m1，圆盘的半径为R，质量为m2。摩
FT?
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理论力学
擦不计，初始时杆OA水平，且杆和圆盘静止。试求杆OA与水平线成?角时，杆的角速度和角加速度。
解：以系统为研究对象，受力分析和运动分析如图所示。系统初始静止，其动能T1?0。当杆OA与水平线成?角时，杆OA的角速度为?OA。因圆盘作平动，故系统的动能为
1122 T2?JO?OA ?m2vA221将JO?m1l2，vA?l?OA代入上式，得
3112 T2?(m1?m2)l2?OA
62杆OA从水平位置转动到与水平线成?角的过程中，系统所受的全部力做功为
l Wi?m1gsin??m2glsin?
2由动能定理T2?T1?Wi，有
??11l2 (m1?m2)l2?OA ?m1gsin??m2glsin? （1）
622解得杆的角速度为
?OA?3m1?6m2gsin?
m1?3m2l将（1）式对时间求导数，得杆的加速度为
3m?6m2g ?OA?1cos?
m1?3m22l12-16 如图12.42所示，半径为r1，质量为m1的圆轮I沿水平面作纯滚动，在此轮上绕一不可伸长绳子，绳的一端绕过滑轮II后悬挂一质量为m3的物体M，定滑轮II的半径为r2，质量为m2，圆轮I和滑轮II可视为均质圆盘。系统开始处于静止。求重物下降h高度时圆轮I质心的速度，并求绳的拉力。
O FOx FOy Fy A r2 Fx ? ?OA C r1 vC m1g Fs FN ?OA I ?1 ?2 FT II m2g m1g A' m2g a M v M m3g m3g
图12.41 图12.42
解：分别选整体和物体M为研究对象，受力及运动分析如图所示。系统初始静止，其动能T1?0。重物下降h高度时设重物下降的速度为v，则圆轮I和滑轮II转动的角速度分
vvv别为?1?，?2?，圆轮I质心的速度为vC??1r1?。此时系统的动能为
r22r12111122 T2?m1vC?JC?12?J2?2?m3v2
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第12章 动能定理
311m1v2?m2v2?m3v2 1642重物由静止开始下降h高度的过程中，系统所受的全部力做功为
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? 由动能定理T2?T1??W?mgh
i3?W，有
i311 (m1?m2?m3)v2?m3gh （1）
1642解得重物的速度为
v?4圆轮I质心的速度为
vC?m3gh
3m1?4m2?8m3m3ghv ?223m1?4m2?8m3将（1）式对时间求导数，得到重物的加速度为
8m3g a?
3m1?4m2?8m3对重物M应用质点运动微分方程，有
m3g?FT?m3a 解得绳的拉力为
(3m1?4m2)m3g FT?m3g?m3a?3m1?4m2?8m312-17 如图12.43所示机构中，滚轮和鼓轮均为均质体，质量分别为m1、m2，半径均为R，斜面倾角为?，如不计绳子的质量和滚动摩擦，滚轮C在斜面上作纯滚动。今在鼓轮上作用一力偶矩M。试求：(1) 鼓轮的角加速度；(2) 轴承O的约束反力。
解：不妨设系统初始是静止的，这样初始系统的动能T1?0。在鼓轮上作用一力偶矩M后，设鼓轮转过?角后其转动角速度为?2，滚轮质心C的向上运动速度为vC?R?2，滚轮
v转动角速度?1?C??2，系统的动能为
R11131222 T2?m1vC ?JC?12?JO?2?(m1?m2)R2?222244鼓轮转过?角的过程中，系统所受的全部力做功的代数和为 由动能定理T2?T1?i?Wi?M??m1gR?sin?
?W，有
312(m1?m2)R2?2?M??m1gR?sin? 44上式两边同时对时间求导数，可得
2(M?m1gRsin?) ?2?
(3m1?m2)R2对鼓轮应用刚体定轴转动微分方程，有
JC?2?M?FTR
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理论力学
3m1M?m1m2gRsin?
(3m1?m2)R解得绳子拉力为
FT?对鼓轮应用质心运动定理，有
FOx?FTcos??0 FOy?m2g?FTsin??0 解得轴承O的约束反力为
m1(6Mcos??m2gRsin2?)
2(3m1?m2)Rm(3M?m2gRsin?) FOy?m2g?1sin?
(3m1?m2)R12-18 如图12.44所示的系统中，物块及两均质轮的质量为m，轮半径为R。轮C上缘缠绕一刚度系数为k的无重弹簧，轮C在地面上作无滑动地滚动。初始时，弹簧无伸长，此时在轮O上挂一重物，试求当重物由静止下落为h时的速度和加速度，以及轮C与地面间的摩擦力。
FOx?FTcos?? ?1 C FOy k F vC C mg vC m1g M O FOx ?1 FOy ?2 m2g F TM O ?2 FOy O mg ? Fs FN FOx F ?1 FN C Fs FOx ?2 m2g FT mg FN Fs vM mg
图12.43 图12.44
解：分别选整体和轮C为研究对象，受力及运动分析如图所示。系统初始静止，其动能T1?0。重物下降h高度时设重物下降的速度为v，则圆轮I和滑轮II转动的角速度分别
v为?1??2?，轮C质心的速度为vC??1R?v。此时系统的动能为
R1211132 T2?mvC?JC?12?JO?2?mv2?mv2
22222重物由静止开始下降h高度的过程中，系统所受的全部力做功为
1 Wi?mgh?k(2h)2?gh?2kh2
2由动能定理T2?T1?Wi，有
?? 解得重物的速度为
32mv?mgh?2kh2 （1） 22(mgh?2kh2) v?
3m将（1）式对时间求导数，得到重物的加速度为
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第12章 动能定理
a?mg?4kh 3m·157·
对轮C应用刚体平面运动微分方程，有
JC?1?FsR?FR 解得
Fs?14khmg ma?F??236
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