随着试验结果变化而变化的变量称为 ,常用字母X,Y,ξ,η,…表示.所有取值可以一一列出的随机变量,称为 . 2.离散型随机变量的分布列及其性质
(1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值
xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则以表格的形式表示如下:
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
将上表称为离散型随机变量X的 ,简称为X的 ,有时为了表达简单,也用等式 表示X的分布列. (2)离散型随机变量的分布列的性质:
① ;
② .
3.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布:
若随机变量X服从两点分布,即其分布列为
X P
其中p= 称为成功概率. (2)超几何分布:
0 1 p 在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件{X=k}发生的概率
P(X=k)=
,k=0,1,2,…,m,即
X 0 1 … m
29
P
其中m= ,且n≤N,M≤N,n,M,N∈N.
*… 如果随机变量X的分布列具有上表的形式,则称随机变量X服从超几何分布.
题组一 常识题
1.[教材改编] 若随机变量η的分布列如下:
η -2 -1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(η 2.[教材改编] 设随机变量X的概率分布列为P(X=k)=,k=0,1,2,3,则c= . 3.[教材改编] 在一次招聘中,主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,并独立完成所抽取的3道题.甲能正确完成其中的4道题,且每道题完成与否互不影响.记所抽取的3道题中,甲能正确完成的题数为X,则X的分布列为 . 4.[教材改编] 数学老师从6道习题中随机抽取3道让同学解答,规定至少要解答正确2道题才能及格.某同学只能正确解答其中的4道题,则他能及格的概率是 . 题组二 常错题 ◆索引:X所有可能取值的概率之和为1;概率非负;X的所有可能取值情况考虑不周. 5.已知离散型随机变量X的分布列如下所示: X P 据此求得常数c= . 0 9c-c 21 3-8c 30 6.某射手有5发子弹,射击一次命中目标的概率为0.9,如果命中就停止射击,否则一直到子弹用尽,则耗用子弹数X的分布列为 . 7.袋中有4个红球和3个黑球,从袋中任取4个球,取到1个红球得1分,取到1个黑球得3分,设得分为随机变量ξ,则P(ξ≤7)= .(用分数表示结果) 课堂考点探究 探究点一 离散型随机变量的分布列的性质 1 随机变量X所有可能取值的集合是,且P(X=-2)=,P(X=3)=,P(X=5)=,则 P(-1 A. B. C. D. [总结反思] 利用分布列中的各概率之和为1可求出参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数. 式题 设随机变量X等可能取值为1,2,3,…,n,如果P(X<4)=,那么n= . 探究点二 离散型随机变量分布列的求法 2 [2017·衡水中学三模] 如图9-60-1,小华和小明两个小伙伴在一起做游戏,他们通过划拳(剪刀、石头、布)比赛决定谁先登上第3个台阶.他们规定从平地开始,每次划拳赢的一方登上一级台阶,输的一方原地不动,平局时两个人都上一级台阶,如果一方连续两次赢,那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励,除非已经登上第3个台阶,当有任何一方登上第3个台阶时,游戏结束,记此时两个小伙伴划拳的次数为X. (1)求游戏结束时小华在第2个台阶的概率; (2)求X的分布列. 图9-60-1 31 [总结反思] 求随机变量分布列的主要步骤: ①明确随机变量的取值,并确定随机变量服从何种概率分布; ②求每一个随机变量取值的概率; ③列成表格. 式题 [2017·江西六校联考] 一个盒子中装有六张卡片,上面分别写着如下六个定义域为R的函数: f1(x)=x,f2(x)=x2,f3(x)=x3,f4(x)=sin x,f5(x)=cos x,f6(x)=2. (1)现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到一个新函数,求所得函数是奇函数的概率; (2)现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数ξ的分布列. 探究点三 超几何分布 3 盒内有大小相同的9个球,其中2个红色球,3个白色球,4个黑色球.规定取出1个红色球得1分,取出1个白色球得0分,取出1个黑色球得-1分,现从盒内任取3个球. (1)求取出的3个球中至少有1个红色球的概率; (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率; (3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数,求ξ的分布列. [总结反思] (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数. (2)超几何分布的特征是:①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考查某类个体个数X的概率分布. 32