用及额外风险。 综上所述，在不发放股息的情况下，美式看涨期权不应该提前行权。
2. 请举例说明期权的投资策略及其适用条件。
答案：详见课本，主要包括牛市价差、熊市价差、多头对敲、空头对敲等，具体略。
3. 论述在不发放股息的情况下，美式看跌期权提前行权可能是最优的选择。
答案： 假设股票价格下跌到足够低的程度，例如考虑一个极端情况，当股价下跌为0时，此时立即行权，投资者可获得的回报为K。如果继续等待，股价不可能再低，况且也损失了把获得的K进行再投资所得的收益，因此当股价下降到足够低的时候，美式看跌期权应该被行权。
4. 简要论述如何用二叉树模型给美式期权定价。
答案： 因为美式期权可在到期日前行权，因此我们需要在二叉树的每个节点比较立即行权与继续等待的价值，并取两者中较大者，其余同欧式期权的二叉树定价法。具体略。
5. 简要论述期权在金融市场中的作用。
答案： 可从风险管理、套利及投机交易等角度考虑，详情略。
六、计算题
1. 用B-S-M公式求无红利支付股票的欧式看跌期权的价格。其中股票价格为＄60，执行价格为＄58，无风险年收益率为5%，股价年波动率为35%，到期日为6个月。 答
案
：
在
此
题
中
，
S0?60,K?58,T?0.5,??0.35,r?0.05。有
d1?l??0lSn0(K?12?/?r)210?/?52.?35262(T)?Tn.(?64068?)0
(.50.050.35)0.5d2?d1??T?0.4626?0.35?0.5?0.2151 p?Ke?rTN(?d2)?S0N(?d1)?58?e?0.05?0.5?N(?0.2151)?60?N(?0.4626) ?4.16因此期权价格为4.16元。
2. 1份4个月后到期的欧式看跌期权价格为1.5元。股票价格为47元，执行价格为50元，利率为6%，股票无股息。问是否存在套利机会，如果存在，该如何套利？
答案：欧式看跌期权的价格下限为p?Ke?rT?S0?50?e?0.06?0.33?47?2.02。目前期权价格低
于该下限，因此存在套利机会，投资者可买入借入金额为Ke?rT的资金来买入股票和期权，以获得无风险套利。
3. 股票价格为50元，无股息，6个月后到期，执行价格为55元的欧式看涨期权价格为3元，同样期限和执行价格的欧式看跌期权价格为7.5元，年利率为5%。问是否存在套利机会，如果存在，该如何套利？
答案：根据看涨-看跌期权平价关系式，c?Ke?rT?p?S0。由题意得
c?3,K?55,r?0.05,T?0.5,p?7.5,S0?50
代入上式，等式左边为56.64，等式右边为57.5，两边不相等，因此存在套利机会。套利者应借入1份看跌期权和1份股票并卖出，可得57.5元，将其中的3元用来买入1份看涨期权，剩下的54.5元存入银行。半年后，存款连本带息可得55.88元。如果股价高于执行价格，则套利者可通过对看涨期权的行权买回股票并偿还；如果股价低于执行价格，则套利者可以以低于执行价格的价格买入股票并偿还，加上支付看跌期权的收益。不论是那种情况，套利者均可获得0.88元的无风险收益。
4. 假设c1,c2和c3是三个标的资产和期权期限都相同的欧式看涨期权的价格，它们各自的执行价格分别为K1,K2和K3，且K3?K2?K1，K3?K2?K2?K1。证明c2?0.5(c1?c3)。 答案：考虑如下投资组合：买入一份执行价格为K1的期权，一份执行价格为K3的期权，并卖出两份执行价格为K2的期权，分几种不同情况讨论：当股价ST?K1，K1?ST?K2，K2?ST?K3，以及ST?K3。可以证明，不论在什么情况下，此投资组合的价值总是大于等
于0。
5. 某个股票现价为100元。已知6个月后将为110或90元。无风险年利率为10％（连续复利）。试求执行价格为100元，6个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？
答案：尝试用股票和期权构造一投资组合，使得6个月后，不论股价上涨还是下跌，该组合的价值保持不变。假设该组合包含?个单位的股票和卖空1个单位的期权，则有
100??10?90????1 因此投资者应该在卖空1份期权的同时，买入1份股票。组合在6个月后的价格为90。在今天的现值为90?e?0.1?0.5?85.61。因此期权在今天的价格为100?f?85.61?f?14.39元。
七、计算分析题
1. 假设目前股票指数为50点。某分析师试图用二叉树模型来给2年期的股指欧式期权定价。假设股指在每年年末上涨20%或下跌20%。年化利率为6%，在2年内没有发放股息。 a) 建立一个2期的股票指数价格的二叉树模型。
b) 计算执行价格为60、期限为2年的欧式看涨期权价格。 c) 计算执行价格为60、期限为2年的欧式看跌期权价格。 d) 讨论看涨-看跌期权平价关系式是否成立。
答案：
a) 2期的二叉树模型如下 72 60 50 40
b) 欧式看涨期权二叉树模型如下 60 7.4 50 4.56 40 0 48 32 72 12 48 0 32 0
c) 欧式看跌期权的二叉树模型如下 60 3.90 50 7.35 40 15.21
72 0 48 12 32 24 d)
c?Ke?rT?4.56?53.22?57.78， p?S?7.35?50?57.35
考虑到二叉树模型的定价误差，看涨-看跌期权平价关系式基本成立。如果二叉树模型能够把期数划分得更多些，则误差会更小。
2. 假设某上市公司现在股价为58元，公司在3个月内将发布有关产品研发是否成功的重大消息。该消息一旦发布，将引起股价剧烈变动，但在发布之前，投资者无法预期股价将向哪个方向变动。目前市场上有关于该股票的欧式看涨和看跌期权，有关信息如下： 看涨期权 看跌期权 5 4 期权价格
60 55 执行价格
存续期 3个月 3个月
a) 请根据题意，用股票和期权构造合适的投资组合。 b) 请计算期权在3个月后到期时，该投资组合的： i. 每股的最大可能损失 ii. 每股的最大可能收益 iii. 每股的盈亏平衡点
答案：
a) 因为投资者预期股价将在短期内剧烈变动，但不确定向哪个方向变动。在此情况下，投资者可同时买入看涨和看跌期权，即所谓的对敲交易。这样的投资策略的成本为看涨和看跌期权的费用，合计为9元。
b) 当期权在三个月后到期时，如果
i) 股价保持不变，或当股价在[55,60]的区间内时，投资者将不会行权，看涨和看跌期权都将作废，投资者在看涨期权上损失了5元，在看跌期权上损失了4元，共计损失9元。 ii) 当股价高于60元时，投资者将行使看涨期权，此时看涨期权的收益为ST?60，看跌期权收益为0，期权费用共计9元，因此收益共计ST?69，因此当股价大大上涨时，理论上的最大可能收益为ST?69。同理，当股价下跌时，考虑极端情况，当股价下跌为0元时，投资者可行使看跌期权，共计获利55元，除去期权费用9元，最大可能收益为46元。 iii) 当股价大幅下跌或大幅上涨时，投资者均有利可图，考虑到期权费用共计9元，因此股价上涨或下跌的幅度至少应能补偿期权费用，因此盈亏平衡点为股价下跌至低于46元，或者上涨至高于69元，在[46,69]的范围内，投资者将无利可图。
习题参考答案：
一、判断题参考答案（正确的是T，错误的是F）：
1.F 2.F 3.T 4.T 5.T 6.T 7.F 8.T 9.F 10.T 11.T 12.F 13.T 14.T 15.T 16.T 17.T 18.T 19.T 20.T