第二十二章 曲线积分与曲面积分
P.361 第一型曲线积分与第一型曲面积分 1. 计算下列第一型曲线积分： （1）（2）
?(x?y)ds,其中L是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形；
L?(xL2?y)ds，其中L是以原点为中心，R为半径的右半圆周；
212x2y2（3）?xyds，其中L为椭圆2?2?1在第一象限中的部分；
Lab（4）
??Lyds，其中L为单位圆x2?y2?1；
222（5）(x?y?z)ds，其中L为螺旋线x?acost,y?asint,z?bt(0?t?2?)的一
L段； （6）（7）
??Lxyzds，其中L为曲线x?t,y?212t2,z?t2(0?t?1)的一段； 32L2y2?z2ds,其中L是x2?y2?z2?a2与x?y相交的圆周．
2. 求曲线x?a,y?at,z?12at(0?t?1,a?0)的质量．设其线密度为??22z. a3. 求摆线??x?a(t?sint)(0?t??)的重心，设其质量分布是均匀的．
?y?a(1?cost)4. 计算下列第一类型曲面积分： （１）
2222x?y?z?a,z?0； ,其中是上半圆面(x?y?z)dSS??S（２）
2222，其中为立体(x?y)dSx?y?z?1的边界曲面； S??S（３）（４）
dS222，x?y?R其中为柱面被平面z?0,z?H所截取的部分； S22??Sx?y??xyzdS，其中S为平面x?y?z?1在第一卦限中的部分；
S5. 若曲线以极坐标???(?)(?1????2)表示，试给出计算
公式计算下列曲线积分： （１）eL?Lf(x,y)ds的公式，并用此
?x2?y2ds，其中L为曲线??a(????4)的一段；
k?（２）xds，其中L为对数螺线??ae(k?0)在圆r?a内的部分．
?L6. 设有一质量分布不均匀的半圆弧x?rcos?,y?rsin?(0????)，其线密度??a?
word
（a为常数），求它对原点(0,0)处质量为m的质点的引力．
7. 证明：若函数f在光滑曲线L:x?x(t),y?y(t),t?[?,?]上连续，则存在点
(x0,y0)?L，使得?f(x,y)dS?f(x0,y0)?L，其中?L为L的长．
L8. 计算
2z??dS，其中S为圆锥表面的一部分： S?x?rcos?sin??0?r?a,? S:?y?rsin?sin?;D:?
?0???2?,?z?rcos??这里?为常数(0????2).
P.371 第二型曲线积分
1. 计算第二型曲线积分： （１）
?xdy?ydx，其中L为本节例２中的三种情形．
LL（２）(2a?y)dx?dy，其中L为摆线x?a(t?sint),y?a(1?cost)(0?t?2?)沿t增加方向的一段； （３）
??xdx?ydy222?Lx2?y2，其中L为圆周x?y?a，依逆时针方向；
（４）向； （５）
?Lydx?sinxdy，其中L为y?sinx(0?x??)与x轴所围的闭曲线，依顺时针方
?xdx?ydy?zdz，其中L：从（１，１，１）到（２，３，４）的直线段．
L2. 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比．若质点由
(a,0)沿椭圆移动到(0,b)，求力所作的功。
3. 设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到xy平面的距离成反比。若质点
沿直线x?at,y?bt,z?ct(c?0)从M(a,b,c)到N(2a,2b,2c)，求力作的功。 4. 证明：曲线积分的估计式：
?ABPdx?Qdy?LM,其中L为AB的弧长，
ydx?xdy，并证明：
?y2?R2(x2?xy?y2)2M?max(x,y)?ABP2?Q2，利用上述不等式估计积分IR??2xR???limIR?0。
５.计算沿空间曲线的第二型曲线积分：
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（１）
?Lxyzdz，其中Ｌ：x2?y2?z2?1与y?z相交的圆，其方向按曲线依次经过１，
２，７，８卦限； （２）
?(yL2?z2)dx?(z2?x2)dy?(x2?y2)dz，其中L为球面x2?y2?z2?1在第
一卦限部分的边界曲线，其方向按曲线依次经过xy平面部分，yz平面部分和zx平面部分．
P.381 格林公式 曲线积分与路线无关性 1. 应用格林公式计算下列曲线积分： （１）（２）
?Lxy2dx?x2ydy，其中L为圆周x2?y2?a2的正向；
2?(x?y)Ldx?(x2?y2)dy，其中L是以A(1,1),B(3,2),C(2,5)为顶点的三角形，
方向取正向； （３）
?ABexsiny?my)dx?(excosy?m)dy，其中m为常数，AB为由(a,0)到(0,0)经
2过圆x?y?ax上半部的路线（其中a为正数）。 ２. 应用格林公式计算下列曲线所围的平面面积： （１） 椭圆：x?acos?,y?bsin?; （２） 双扭线：r?acos2?．
３. 验证下列积分与路线无关，并求它们的值： （1）（2）（3）
222??(1,1)(0,0)(1,2)(x?y)(dx?dy);
ydx?xdy沿在右半平面的路线；
x2(2,1)?(6,8)xdx?ydyx?y22(1,0)沿不通过原点的路线；
（4）
?(1,2)(1,0)?(x)dx??(y)dy，其中?,?为连续函数.
4. 求下列全微分的原函数：
（1）(x?2xy?y)dx?(x?2xy?y)dy; （2）e[e(x?y?2)?y]dx?e[e(x?y)?1]dy; （3）f(x?y)xdx?f(x?y)ydy. 5. 为了使线积分条件？ 6. 计算曲线积分
word
2222xyxy2222?F(x,y)(ydx?xdy)与积分路线无关，则可微函数F(x,y)应满足怎样的
L?AMB[?(y)ex?my]dx?[??(y)ex?m]dy其中 ?(y)和??(y)为连续函数;
AMB为连接点A(x1,y1)和点B(x2,y2)的任何路线，但与线段AB围成已知大小为S的面积. 7. 设函数f(u)
具有一阶连续导数，证明对任何光滑闭曲线L，有8. 求积分值I?外法线方向.
9. 设函数u(x,y)在光滑闭曲线L所围成的区域D上具有二阶连续偏导数。证明
?Lf(xy)(ydx?xdy)?0.
n为L的其中L为包围有界区域的闭曲线，?[xcos(n,x)?ycos(n,y)]ds，
L?2u?2u?u ??(2?2)dxdy??ds，
L?n?x?yD其中
?u是u(x,y)沿L外法线方向n的导数。 ?n
P.391 第二型曲面积分
1. 计算下列第二型曲面积分：
（1）y(x?z)dydz?xdzdx?(y?xz)dxdy，其中S为x?y?z?0,x?y?z?a六
s??22个平面所围的正方体并取外侧为正向； （2）
??(x?y)dydz?(y?z)dzdx?(z?x)dxdy，其中S是以原点为中心，边长为2的正
s方体表面并取外侧为正向； （3）
??xydydz?yzdzdx?xzdxdy，其中S是由平面x?y?z?0,x?y?z?1所围的
s四面体表面并取外侧为正向； （4）（5）
??yzdzdx，其中S是球面xss2?y2?z2?1的上半部分并取外侧为正向；
2222222(x?a)?(y?b)?(z?c)?R，其中是球面并xdydz?ydzdx?zdxdyS??取外侧为正向。
2. 设某流体的流速为v?(k,y,0)，求单位时间内从球面x?y?z?4的内部流过球面
的流量.
3. 计算第二型曲面积分I?222??f(x)dydz?g(y)dzdx?h(z)dxdy,其中S是平面六面体
S(0?x?a,0?y?b,0?z?c)的表面并取外侧，f(x),g(y),h(z)为S上的连续函数.
4. 设磁场强度为E(x,y,z)，求从球内出发通过上半球面x?y?z?a,z?0的磁通
量。
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