极坐标的概念

设M点的极坐标为(ρ1,α)则N点极坐标为(ρ2,π+α).于是

注 对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题,常以焦点为极点,建立极坐标系,利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解

极坐标·例题

(2)把点N的直角坐标(-3,4)化成极坐标;

(3)化曲线E的极坐标方程:kρcosθ+3ρsinθ-6cosθ=0为直角

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坐标方程,并说明曲线的形状. 解 (1)设M的直角坐标为(x,y),则

(3)在方程kρcosθ+3ρsinθ-6cosθ=0两边同乘以ρ得 kρcosθ+3ρsinθ-6ρcosθ=0 用x=ρcosθ,y=ρsinθ代入得 kx+3y-6x=0

因极点在曲线上,则原点也满足方程. 当k=0时,曲线为抛物线y=2x;

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注 (i)点的极坐标与直角坐标互化时,如无特别说明,一般认为两

的值,再由(x,y)所在象限确定θ为第几象限角,得出θ的值. (ii)化极坐标方程为直角坐标方程时,通常在方程两边乘以ρ, 使方程中出现ρ,ρcosθ,ρsinθ.以便直接代入公式转化. 但应考查ρ=0时的点是否在曲线上.

例13-2-2 已知锐角∠AOB=2α内一动点P,过P向角的两边OA,OB

作垂线,PM⊥OA于M,PN⊥OB于N.当四边形PMON面积为定值 a时,求P点的轨迹.

解 如右图,以O为极点,∠AOB的平分线为极轴建立极坐标系.设P点坐标为(ρ,θ)(-α<θ<α,ρ>0).则∠MOP=α-θ,∠PON=α+θ.所以

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OM=ρcos(α-θ),PM=ρsin(α-θ) ON=ρcos(α+θ),PN=ρsin(α+θ) 于是 SPMON=S△POM+S△PON

由题设知

故P点轨迹为以O为中心,∠AOB的平分线所在直线为对称轴,

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