|H(ej?)|?(?)1?????2??40?4?2?2??40?4?2
例3解图
例4 已知因果离散系统的系统函数H(z)的零极点分布如例4图所示，并且
H(0)??2。求：
（1） 系统函数H(z)； （2） 系统的频率响应； （3） 粗略画出频率特性曲线。
jIm[z]-0.50?0.5Re[z]
例4图
解：
（1） 因H(z)?H0z?0.5z?0.5，代入H(0)??2，得H0?2，所以
H(z)?2(z?0.5)z?0.5
（2） 因为H(z)的惟一极点z?0.5位于单位圆内，因此系统的频率响应为：
2(eej?H(ej?)?H(z)|z?ej???0.5)?0.5j??|H(ej?)|ej?(?)
（3） 幅频特性|H(ej?)|和相频特性?(?)如例4解图所示。
?(?)|H(ej?)|6?????2??40?4?2?2??40?4?2
218
例4解图
例5 某离散系统，已知系统的频率响应为H(ej?)?|H(ej?)|ej?(?)，如例5图所示。当输入x(n)为连续信号x(t)?2cos?t?3cos2?t（基波频率为f?100Hz）的采样序列，其采样频率为fs?800Hz，求系统的稳态响应y(n)。
解：连续信号x(t)?2cos?t?3cos2?t经过采样后得到
x(n)?2cos(?4n)?3cos(?22n)
由例5图可得离散系统的频响函数为：
H(ej?)?|H(ej?)|ej?(?)?(1??|?|)e?j?
且该系统为一低通数字滤波器，当???2的频率成分全部被滤掉，所以稳态输出为：
y(n)?x(n)?H(ej?)?2cos(?4n)H(ej?)|???4?2cos(?4n)?12?e?j?4?cos(?4n??4)
?2?(?)1|H(ej?)|??2??40?4?2???2
例5图
例6 某离散时间LTI系统如例6图所示。求：
y(n)x(n)+1DD0.75 例6图
（1） 系统函数H(z)，并画出系统的零极点图；
（2） 系统所有可能的单位响应h(n)，并讨论其因果稳定性；
（3） 在系统稳定的条件下，请根据零极点图概略绘出系统的幅频特性，并标注出
219
??0,?2,?时的幅值。
解：
（1）系统函数为：
H(z)?1?z23z?1?1?34
z?2系统的零点为z0?0，极点为p0,1??2,。零极点图如例6解图（a）所示。
23（2）因为有两个极点，所以收敛域有三种情况|z|?，
23?|z|?2，|z|?2。
H(z)?1?zz?1?1?34?z?2?zz?2??13z23
z?① 当收敛域为|z|?非因果；
② 当收敛域为但非因果；
2323，单位响应h(n)?[(?2)?n12n()]u(?n?1)，系统既不稳定也3312n()u(n)，系统稳定33?|z|?2，单位响应h(n)?(?2)u(?n?1)?n③ 当收敛域为|z|?2，单位响应h(n)??[(?2)?n12n()]u(n)，系统因果但不稳定。 33（3）稳定时，系统的幅频特性如例6解图（b）所示。
jIm[z]
Re[z]4/3|H(ej?)|?-20?23
（
0.80.4976??2???20? （a） （b）
例6解图
9.3 习题精解
1. 用z变换法解下列差分方程：
（1）y(n)?0.9y(n?1)?0.05u(n),y(n)?0,n??1
（2）y(n)?0.9y(n?1)?0.05u(n),y(?1)?1,y(n)?0,n??1 （3）y(n)?3y(n?1)?2y(n?2)?u(n),
220
y(?1)?0,y(?2)?12,y(n)?0,n??3
（4）y(n)?0.8y(n?1)?0.15y(n?2)??(n),
y(?1)?0.2,y(?2)?0.5,y(n)?0,n??3
解：
（1） 对方程两边进行z变换得
Y(z)?0.9Y(z)z?1?0.051?z?1
Y(z)?0.05(1?0.9z?1)(1?z?1)
运用部分分式法得 Y(z)?0.050.45.5(1?0.9z?1)(1?z?1)??1?0.9z?1?01?z?1由y(n)?0,n??1知，y(n)是因果序列，查教材表4-1得
y(n)?(?0.45?0.9n?0.5)u(n)
（2） 对方程两边进行z变换得
?1Y(z)?0.9z?1[Y(z)??y(k)z?k]?0.05k???1?z?1
Y(z)?0.9z?1[Y(z)?y(?1)z]?0.051?z?1
Y(z)?0.9z?1Y(z)?0.9?0.051?z?1
?1Y(z)?0.95?0.9z(1?0.9z?1)(1?z?1)
当n?0时，运用部分分式法得 Y(z)?0.95?0.9z?10.450.5(1?0.9z?1)(1?z?1)?1?0.9z?1?1?z?1查教材表4-1得
y(n)?(0.45?0.9n?0.5)u(n)
总结得到
y(n)?(0.45?0.9n?0.5)u(n)??(n?1)（3） 对方程两边进行z变换得
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