xdf概率基础讲义[免费下载]

1??2,?1??2)。

例3.9:设X和Y是两个相互独立的随机变量,且X~U(0,1),Y~e(1),求Z=X+Y的分布密度函数fz(z)。

③混合型

例3.10:设随机变量X与Y独立,其中X的概率分布为

22

?1?X~???0.3??, ?0.7??2而Y的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u)。

第二节 练习题

1、二维随机变量联合分布函数

例3.11:如下四个二元函数,哪个不能作为二维随机变量(X,Y)的分布函数?

?(1?e?x)(1?e?y),?(A)F1(x,y)???0,?0?x???,0?y???,

其他.(B)F2(x,y)?y?1??x????arctan?arctan??. ??22223?????(C)

?1,?F3(x,y)???0,x?2y?1,

x?2y?1.0?x???,0?y???,?1?2?x?2?y?2?x?y,?(D)F4(x,y)???0,?

其他. [ ]

例3.12:设某班车起点站上车人数X服从参数为?(??0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0

(2) 二维随机向量(X,Y)的概率分布。

例3.13:一射手进行射击,击中目标的概率为p(0

22

例3.14:设(X,Y)只在曲线y=x与x=y所围成的区域D中不为零且服从均匀分布,试求: (1)(X,Y)的联合密度;(2)边缘密度?X(x),?Y(y);(3)P(Y?X) 例3.15:设随机变量(X,Y)的概率密度为

?1,??(x,y)???0,|y|?x,0?x?1,

其他.试求: (1)条件概率密度?(x|y),?(y|x);

(2)P(X?12Y?0).

例3.16:设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布,在X?x(0?x?1)的条件下,随机变量Y在区间(0,x)上服从均匀分布,求

(Ⅰ) 随机变量X和Y的联合概率密度; (Ⅱ) Y的概率密度; (Ⅲ) 概率P{X?Y?1}.

2、随机变量的独立性

例3.17:设(X,Y)的联合分布密度为 ?C(x?y),?f(x,y)???0,?0?y?x?1,

其他.(1) 求C;

(2) 求X,Y的边缘分布; (3) 讨论X与Y的独立性; (4) 计算P(X+Y?1)。

?e?y?例3.18:设(X,Y)的密度函数为?(x,y)???0,?x?0,y?x,

其他.试求: (1)X,Y的边缘密度函数,并判别其独立性; (2)(X,Y)的条件分布密度; (3)P(X>2|Y<4)。

3、简单函数的分布

例3.19:设两个独立的随机变量X与Y的分布律为

X13Y24 , Pi0.30.7 Pj0.60.4

求随机变量(1)Z=X+Y;(2)Z=XY;(3)Z=max(X,Y)的分布律。

例3.20:设两个相互独立的随机变量X与Y分别服从N(0,1)和N(1,1),求P(X+Y?1),(或选择题为) (A)P(X?Y?0)?(C)P(X?Y?0)?1212; ;

(B)P(X?Y?1)?(D)P(X?Y?1)?1212; ;

例3.21:设随机变量(X,Y)的分布密度为

?3x??(x,y)???0,?0?x?1,0?y?x,

其他.试求 Z=X-Y的分布密度。

XY例3.22:设X与Y相互独立,且都服从(0,a)上的均匀分布,试求Z?

的分布密度与分布函数。

第四章 随机变量的数字特征

第一节 基本概念

1、一维随机变量的数字特征

(1)一维随机变量及其函数的期望

①设X是离散型随机变量,其分布律为P(X?xk)=pk,k=1,2,?,n,

nE(X)??xk?1kpk

期望就是平均值。

例4.1:100个考生,100分10人,90分20人,80分40人,70分20人,60分10人,求期望。

例4.2:设某长生产的某种产品不合格率为10%,假设生产一件不合格品要亏损2元;每生产一件合格品获利10元。求每件产品的平均利润。

②设X是连续型随机变量,其概率密度为f(x),

??E(X)??xf(x)dx

??例4.3:设在某一规定的时间间隔里,某电气设备用于最大负荷的时间X(以分钟计)是一个随机变量,其概率密度为

x??(1500)2???3000?x?2f(x)??(1500)??0????0?x?15001500?x?3000

其他求EX。

③数学期望的性质 (1) E(C)=C

(2) E(CX)=CE(X)

nn(3) E(X+Y)=E(X)+E(Y),E(?CiXi)?i?1?Ci?1iE(Xi)

(4) E(XY)=E(X) E(Y),充分条件:X和Y独立; 充要条件:X和Y不相关。 (5) Y=g(X)

n离散:E(Y)??g(xi?1k)pk

?? 连续:E(X)??xf(x)dx

????E(Y)??g(x)f(x)dx

??例4.4:将一均匀骰子独立地抛掷3次,求出现的点数之和的数学期望。 例4.5:设离散型随机变量X的分布律为

X P

试求:(1)EX2

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