对于中间一层方格和最外一层方格,设想分块时一定要紧扣条件:每一块中都要有一个“○”和
一个“?”.每一块都有9个方格组成,不能断开.下图是分解了的分块过程示意图.
④注意到斜线阴影部分已经有了一个“○”和一个“?”.那么左下角包含“○”的方格就不能再分到斜线阴影部分去了,而只能将右下角的方格分到斜线阴影部分.于是左上角的方格就应该分给横线阴影部分.空白部分是另外两块. 下就是最后分得的结果.
【例 19】 正三角形ABC的面积是1平方米,将三条边分别向两端各延长一倍,连结六个端点得到一个六
边形(如右图),求六边形的面积.
ABC
【解析】 采用分割法,过A、B、C分别作平行线,得到右上图,其中所有小三角形的面积都相同,所以六
边形面积等于13平方米.
【巩固】正方形ABCD的面积是1平方米,将四条边分别向两端各延长一倍,连结八个端点得到一个正方形(如
图),求大正方形的面积.
ADBC
【解析】 四条边分别向两端各延长一倍,很容易可以观察出,大正方形有9个小正方形组成,所以,大正方
形的面积是:1?9?9(平方米).
【巩固】正六边形ABCDEF的面积是1平方米,将六条边分别向两端各延长一倍,交于六个点,组成如下图
的图形,求这个图形的面积.
AFEBCDFABCED
【解析】 采用分割法,连接正六边形的对角线,会发现,所有的三角形面积都相同,一共有12个小三角形,
原来正六边形的面积是1平方米,由6个小三角形组成,所以现在的大图形的面积是:1?2?2 (平方米)
【例 20】 (第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动初赛)如图,它是由15个边长为1厘米的小正方形
组成的.
⑴ 请在原图中沿正方形的边线,把它划分为5个大小形状完全相同的图形,分割线用笔描粗. ⑵ 分割后每个小图形的周长是 厘米.
⑶ 分割后5个小图形的周长总和与原来大图形的周长相差 厘米.
第3题【分析】 ⑴ 因为总共有15个小正方形,所以分成5个大小形状相同的图形后每个图形应该有15?5?3(个)小正方形,如图.
⑵ 每个小图形的周长为8厘米.
⑶ 5个小图形的周长和:8?5?40(厘米),原图形的周长:4?4?2?18(厘米),所以相差40?18?22(厘米).
图1
【例 21】 如何把下图中的三个图形分割成两个相同的部分(除了沿正方形的边进行分割外,还可沿正方形
的对角线进行分割).
【解析】 要把图形分成两个相同的部分,首先要保证分得的两部分面积相同,其次要保证分得的两部分形状
相同,从面积入手进行分割会使问题更容易解决.第一个图形一共有6个小正方形,2个三角形,要分割成两块完全相同的部分,每一部分都要有3个正方形、1个三角形,这样很容易就可以解决这个问题了;同样,对第二个图形,一共有7个正方形,2个三角形,因为正方形的个数是奇数,所以,肯定有一个正方形被分成相同的两块,对于这个图形,我们很容易看出有一个正方形的位置很特殊,在最中间,所以考虑将它分成两部分,由对称的原则,从对角线分开;第三个图形更复杂一些,一共有6个正方形,6个三角形,分成的两块每一块都要有3个正方形、3个三角形,因为最上面的两个三角形组合成了一个大的三角形,所以右下方的两个三角形不能分开,再根据对称的原则,就容易解决这个问题了,具体分法见下图.
【例 22】 (2003年《小学生数学报》数学邀请赛)如图,将一个等边三角形分割成互相不重叠的23个较
小的等边三角形(这些较小的等边三角形的大小不一定都相同),请在图中画出分割的结果.
【解析】 分割的方法不唯一,如图所示.
【例 23】 (2005年《小学生数学报》数学邀请赛)如图,将一个正方形分割成互相不重叠的21个小正方
形,这些小正方形的大小不一定相同,请画图表示.
【解析】 分割的方法不唯一,如右图所示.
板块二 图形的拼合
【例 24】 用两块大小一样的等腰直角三角形能拼成几种常见的图形? 【解析】 建议用等腰直角三角板,把不同的边进行重合,不要漏掉旋转重合,或者准备一些等腰直角三角形
的纸片,由学生拼接后贴到黑板上,见下图:
【巩固】用3个等腰直角三角形拼图,要求边与边完全重合,能拼出几种图形? 【解析】 这种类型的题需要学生亲自操作,建议教师准备材料与学生互动.一共可以拼成如下图的几种形状:
【巩固】用同样大小的四块等腰直角三角板,能否拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、
一个平行四边形五种图形?若能,画出示意图.
【解析】 能用四块同样大小的等腰直角三角板拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个
平行四边形五种图形.建议用等腰直角三角板,把不同的边进行重合,不要漏掉旋转重合,或者准备一些等腰直角三角形的纸片,由学生拼接后贴到黑板上,具体拼法如图所示.
【例 25】 下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形?
【解析】 用4块图(4)和图(5)那样的图形显然能够拼成一个大正方形.其实用图(1)、图(2)、图(3)也能拼成
一个大正方形,拼法见下图.
【例 26】 用下面的3个图形,拼成右边的大正方形.
【解析】 首先数一数所有的空格数,一共只有16个,只能组成4?4的正方形,使用目标倒推法,在右边的大
正方形中拼图,仍然使用染色法,相当于把已知图形往右边的大正方形中放,这样就很容易拼合了,如下图:
【巩固】用“四连块”拼成一个正方形,按编号画入右边图中.
①③②④
【解析】 首先数一数所有的空格数,一共只有16个,只能组成4?4的正方形,目标倒推,在右边的大正方形
中拼图,仍然使用染色法,相当于把已知图形往右边的大正方形中放,这样就很容易拼成了,注意标号的位置,具体如下图所示:
①③①③①③④②②①→
【例 27】 有6个完全相同的
→→
,你能将它们拼成下面的形状吗?