全国各地中考数学压轴题汇编之

正方形得面积为

256

25625

因为25<16, 所以a=.

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3.(2017江苏连云港,27,14分)问题呈现:

如图1,点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上,AE=DG,求证:2S

四边形EFGH

=S矩形ABCD.(S表示面积)

实验探究:某数学实验小组发现:若图1中AH≠BF,点G在CD上移动时,上述结论会发生变化,分别过点E、G作BC边的平行线,再分别过点F、H作AB边的平行线,四条平行线分别相交于点A1、B1、C1、D1,得到矩形A1B1C1D1.

如图2,当AH>BF时,若将点G向点C靠近(DG>AE),经过探索,发现:2S四边形EFGH=S矩形ABCD+S矩形A1B1C1D1.

如图3,当AH>BF时,若将点G向点D靠近(DG<AE),请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与

S矩形A1B1C1D1之间的数量关系,并说明理由.

迁移应用:

请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题:

(1)如图4,点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点,已知AH>BF,AE>DG,S四边形EFGH=11,HF=29,求EG的长.

(2)如图5,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E、H分别在边AB、AD上,BE=1,DH=2,点F、G分别是边BC、CD上的动点,且FG=10,连接EF、HG,请直接写出四边形EFGH面积的最大值.

【分析】问题呈现:根据矩形的性质,通过割补法利用三角形的面积和矩形的面积可得到结

论;实验探究:由题意得当将点G向点D靠近(DG

△四边形AEGD是矩形, △S△HGE=

1S矩形AEGD, 21S矩形BEGC, 21S矩形BEGC. 2同理S△EGF=

△S四边形EFGH=S△HGE+S△EFG=

实验探究:结论:2S四边形EFGH=S矩形ABCD-S矩形A1B1C1D1.

理由:△S△EHC1=

1111S矩形AEC1H,S△HGD1=S矩形HDGD1,S△EFB1=S矩形EBFB1,S△FGA1=S矩形CFA1G, 2222△S四边形EFGH=S△EHC1+S△HGD1+S△EFB1+S△FGA1-S矩形A1B1C1D1, △2S四边形EFGH=2S△EHC1+2S△HGD1+2S△EFB1+2S△FGA1-2S矩形A1B1C1D1,

△2S四边形EFGH=S矩形ABCD-S矩形A1B1C1D1. 迁移应用:解:(1)如图4中, △2S四边形EFGH=S矩形ABCD-S矩形A1B1C1D1.

△S矩形A1B1C1D1=25-2×11=3=A1B1·A1D1, △正方形的面积为25,△边长为5, △A1D12=HF2-52=29-25=4, △A1D1=2,A1B1=

3, 2△EG2=A1B12+52=

109. 2109, 4EG=(2)△2S四边形EFGH=S矩形ABCD+S矩形A1B1C1D1.

△四边形A1B1C1D1面积最大时,矩形EFGH的面积最大.

△如图5-1中,当G与C重合时,四边形A1B1C1D1面积最大时,矩形EFGH的面积最大.

此时矩形A1B1C1D1面积=1·(10-2)=10 △如图5-2中,当G与D重合时,四边形A1B1C1D1面积最大时,矩形EFGH的面积最大. 此时矩形A1B1C1D1面积=2·1=2,

△2>10-2,

△矩形EFGH的面积最大值=

17. 24.(2017江苏南通,28,13分)已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2(a>0)相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴正半轴相交于点C,过点A作AD⊥x轴,垂足为D. (1)若∠AOB=60°,AB∥x轴,AB=2,求a的值;

(2)若∠AOB=90°,点A的横坐标为-4,AC=4BC,求点B的坐标; (3)延长AD、BO相交于点E,求证:DE=CO.

【分析】(1)如图1,由条件可知△AOB为等边三角形,则可求得OA的长,在Rt△AOD中可求得AD和OD的长,可求得A点坐标,代入抛物线解析式可得a的值;

(2)如图2,作辅助线,构建平行线和相似三角形,根据CF∥BG,由A的横坐标为-4,得B的横坐标为1,所以A(-4,16a),B(1,a),证明△ADO∽△OEB,则的值及B的坐标;

(3)如图3,设AC=nBC由(2)同理可知:A的横坐标是B的横坐标的n倍,则设B(m,am2),则A(-mn,am2n2),分别根据两三角形相似计算DE和CO的长即可得出结论. 【解析】解:(1)如图1,∵抛物线y=ax2的对称轴是y轴,且AB∥x轴, ∴A与B是对称点,O是抛物线的顶点, ∴OA=OB, ∵∠AOB=60°, ∴△AOB是等边三角形, ∵AB=2,AB⊥OC,

∴AC=BC=1,∠BOC=30°,

ADOD,得a=OEBE∴OC=3,

∴A(-1,3),

把A(-1,3)代入抛物线y=ax2(a>0)中得:a=3;

(2)如图2,过B作BE⊥x轴于E,过A作AG⊥BE,交BE延长线于点G,交y轴于F, ∵CF∥BG, ∴

ACAF, =BCFG

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