解 如图，取矩形板所在平面为坐标面Oxy，原点为轴线与平面的垂足点。在板上取一质元dm??dxdy，由转动惯量的定义知这一质元对轴线的转动惯量为
dJ?rdm??x?y222??dxdy
2将上式对x、y积分得整个板对轴线的转动惯量为
J?????l2l2b2?b2?x22?y?dxdy
?
?lb12?l2?b?
4-6 如图所示，质量m1?16kg的实心圆柱体A，其半径为r?15cm，可以绕其固定水平轴转动，阻力忽略不计。一条轻的柔绳绕在圆柱体上，其另一端系一个质量m2?8.0kg的物体B，求：（1）物体B由静止开始下降1.0s后的距离；（2）绳的张力。
解 （1） A、B受力分析如图所示。设物体B向下运动的加速度为a，由牛顿定律得
m2g?FT?m2a
A FN ? FT? FT
r 对于圆柱体A，重力和轴对它的支持力平衡，它在绳子张力作用下加速转动，由转动定律
FT?r?J??12m1r?
2m1g B a
m2g
又FT?FT?，且a?r?
综合上几式可得物体B下落的加速度大小为
a?2m2gm1?2m2
1当t?1.0s时物体下落的距离为 h?2将加速度表达式及相关数据代入得 h?2.45m
at
2（2）由上问可知，绳中张力为
FT?m2g?m2a?m1m2m1?2m2g?39.2N
4-7 质量为m1和m2的两物体A、B分别悬挂在如图所示的组合轮两端。设两轮的半径分别为R和r，两轮的转动惯量分别为J1和J2，轮与轴承间的摩擦力略去不计，绳的质量也略去不计。试求两物体的加速度和绳的张力。
解 组合轮与两物体的受力分析如图所示，组合轮为一个整体，它所受的重力和支持力平衡，只在两绳的张力作用下转动，设转动加速度为?，由转动定律得
?R?FT2?r?J???J1?J2?? FT1FT?2 FT2 FN ?
r R FT?1
对于物体A、B，由牛顿定律有
P m1g?FT1?m1a1 FT2?m2g?m2a2
FT1
B A m1g
m2g
?，FT2?FT?2，a1?R?，a2?r? 又FT1?FT1综合以上几式可得
a1?m1R?m2rJ1?J2?m1R?m2rm1R?m2rJ1?J2?m1R?m2r222gR
a2?22gr
FT1?J1?J2?m2r?m2RrJ1?J2?m1R?m2r222m1g
FT2?J1?J2?m1R?m1RrJ1?J2?m1R?m2r22m2g
4-8 如图所示装置，定滑轮的半径为r，绕转轴的转动惯量为J，滑轮两边分别悬挂质量为m1和m2的物体A、B。A置于倾角为?的斜面上，它和斜面间的摩擦
因数为?，若B向下作加速运动时，求：（1）其下落的加速度大小；（2）滑轮两边绳子的张力。（设绳的质量及伸长均不计，绳与滑轮间无滑动，滑轮轴光滑）
解 如图，对滑轮及两物体分别进行
FN Ff FN
FT1 FT?1 FT?2
m1gA P FT2
B m2g
受力分析，物体B向下加速运动，带动滑轮转动，及物体A沿斜面向上运动。 对于物体A，设它沿斜面滑动的加速度大小为a1，由牛顿定律有
FT1?m1gsin???m1gcos??m1a1
同样，对于物体B有
m2g?FT2?m2a2
对于滑轮，由转动定律可知
FT?2r?FT?1r?J?
其中FT1?FT?1 ，FT2?FT?2
又绳子无伸长，绳与滑轮间无滑动，所以有 a1?a2?r? 综合上几式可得 物体B下落的加速度大小为
a2?a1?m2g?m1gsin???m1gcos?m1?m2?Jr2
两边绳中张力大小分别为
FT1?m1m2g?1?sin???cos????sin???cos??m1gJrm1?m2?Jr22
FT2?m1m2g?1?sin???cos???m2gJrm1?m2?Jr22
4-9 一质量为m?、半径为R的均匀圆盘，通过其中心且与盘面垂直的水平轴以角速度?转动，若在某时刻，一质量为m的小碎片从盘边缘裂开，且恰好沿垂直方向上抛，问它可能达到的高度是多少？破裂后圆盘的角动量为多大？
解 （1） 小碎片裂开竖直上抛的初速度大小等于圆盘边缘上点的线速度，即
v0?R?
R由运动学公式可知，碎片能达到的高度是
h?v022g?R?2g22
（2）圆盘破裂时，由角动量守恒有
L0?L?L?
L0?12m?R?为破裂前整个圆盘对轴的角动量，L?mR?为破裂后碎片的角动
22量，所以破裂后圆盘的角动量为
?1?2L??L0?L??m??m?R?
?2?
4-10 在光滑的水平面上有一木杆，其质量m1?1.0kg，长l?40cm，可绕通过其中点并与之垂直的轴转动。一质量为m2?10g的子弹，以v?2.0?102m?s?1的速度射入杆端，其方向与杆及轴正交。若子弹陷入杆中，试求所得到的角速度。 解 考虑子弹与杆所组成的系统，子弹射入杆的过程无
外力矩，满足角动量守恒，设子弹陷入杆后二者的角速度为
?，则有，
J2?2??J1?J2?? （1）
v 2其中J1?m1l12为木杆绕轴的转动惯量，
l O m1
m2 J2?m2?l2?为子弹射入杆之前绕轴的转动惯量，且它绕
2轴的角速度为?2?2vl，代入（1）式可得，子弹陷入杆中，所得到的角速度为
??
J2?J1?J2?6m2v?m1?3m2?l?29.1s?1
4-11 半径分别为r1、r2的两个薄伞形轮，它们各自对通过盘心且垂直盘面转轴的转动惯量为J1、J2，开始时轮I以角速度?0转动，问与轮II成正交啮合后（如图所
?0 I r1 示），两轮的角速度多大？
解 两轮在啮合的过程中存在相互作用力，轮I转速减小，轮II的转速度则由零开始逐渐增大，直到二者达到相同的线速度。 设啮合过程产生的相互作用力大小为F，
r2 II