标等)的函数,并求出这个变量的取值范围(即函数的定义域),将问题转化为求函数的值域或最值. 4.(2015浙江,19,15分)已知椭圆 +y=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+ 对称. (1)求实数m的取值范围;
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).
2
解析 (1)由题意知m≠0,可设直线AB的方程为y=-x+b.
消去y,得 x2- x+b2-1=0. 由
-
因为直线y=-x+b与椭圆+y=1有两个不同的交点,
2
所以Δ=-2b+2+ >0,①
将AB的中点M 代入直线方程y=mx+ ,解得 b=-
2
.②
由①②得m<- 或m> . (2)令t= ∈ -
∪ ,
则|AB|= · -
,
且O到直线AB的距离为d=设△AOB的面积为S(t),
.
所以S(t)= |AB|·d= - - ≤ . 当且仅当t=时,等号成立.
2
故△AOB面积的最大值为 .
5.(2015天津,19,14分)已知椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),离心率为 ,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x+y= 截得的线段的长为c,|FM|=(1)求直线FM的斜率;
2
2
.
(2)求椭圆的方程;
(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于 ,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围. 解析 (1)由已知有 = ,又由a=b+c,可得a=3c,b=2c.
2
2
2
2
2
2
2
设直线FM的斜率为k(k>0),则直线FM的方程为y=k(x+c).由已知,有
+ = ,解得k= .
(2)由(1)得椭圆方程为 + =1,直线FM的方程为y= (x+c),两个方程联立,消去y,整理得3x+2cx-5c=0,解得x=- c或x=c.因为点M在第一象限,可得M的坐标为 由|FM|=
2
2
.
- =
,解得c=1,
所以椭圆的方程为+=1.
(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,得t= ,即y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立得 - 222 消去y,整理得2x+3t(x+1)=6.又由已知,得t= > ,解得- 设直线OP的斜率为m,得m= ,即y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理可得m= - . ①当x∈ - - 时,有y=t(x+1)<0,因此m>0,于是m= - ,得m∈ 2 . . ②当x∈(-1,0)时,有y=t(x+1)>0,因此m<0,于是m=- -,得m∈ - -综上,直线OP的斜率的取值范围是 - - ∪ . 评析 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力以及用函数与方程思想解决问题的能力. 考点三 存在性问题 1.(2015北京,19,14分)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在 椭圆C上,直线PA交x轴于点M. (1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示); (2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由. 2解析 (1)由题意得 解得a=2. 故椭圆C的方程为+y=1. 2 设M(xM,0). 因为m≠0,所以-1 (2)因为点B与点A关于x轴对称,所以B(m,-n). 设N(xN,0),则xN= - . “存在点Q(0,yQ)使得∠OQM=∠ONQ”等价于“存在点Q(0,yQ)使得 = ”,即yQ满足 =|xM||xN|. 因为xM= - ,xN= , +n=1, 所以 =|xM||xN|= =2. - 2 所以yQ= 或yQ=- . 故在y轴上存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ. 点Q的坐标为(0, )或(0,- ). 2.(2014山东,21,14分)已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形. (1)求C的方程; (2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E, (i)证明直线AE过定点,并求出定点坐标; (ii)△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由. 解析 (1)由题意知F . 设D(t,0)(t>0),则FD的中点为 因为|FA|=|FD|, 则由抛物线的定义知3+= - , 2 . 解得t=3+p或t=-3(舍去). 由 =3,解得p=2. 2 所以抛物线C的方程为y=4x. (2)(i)由(1)知F(1,0), 设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0), 因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1, 由xD>0得xD=x0+2,故D(x0+2,0). 故直线AB的斜率kAB=- . 因为直线l1和直线AB平行, 所以可设直线l1的方程为y=- x+b, 代入抛物线方程得y+y-=0, 2 由Δ= + =0,得b=- . 设E(xE,yE),则yE=- ,xE= , 当 ≠4时,kAE= - - =- - - =, 可得直线AE的方程为y-y0= 由 =4x0, - (x-x0), 整理可得y= - (x-1), 直线AE恒过点F(1,0). 当 =4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0), 所以直线AE过定点F(1,0). (ii)由(i)知直线AE过焦点F(1,0), 所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+ =x0++2. 设直线AE的方程为x=my+1, 因为点A(x0,y0)在直线AE上, 故m= , - 设B(x1,y1), 直线AB的方程为y-y0=- (x-x0), 由y0≠0, 可得x=-y+2+x0, 代入抛物线方程得y+ y-8-4x0=0. 2 所以y0+y1=-, 可求得y1=-y0- ,x1= +x0+4, 所以点B到直线AE的距离为 d= -