2020版高考数学(理科)大一轮精准复习精练:9.7圆锥曲线的综合问题含解析

标等)的函数,并求出这个变量的取值范围(即函数的定义域),将问题转化为求函数的值域或最值. 4.(2015浙江,19,15分)已知椭圆 +y=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+ 对称. (1)求实数m的取值范围;

(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).

2

解析 (1)由题意知m≠0,可设直线AB的方程为y=-x+b.

消去y,得 x2- x+b2-1=0. 由

-

因为直线y=-x+b与椭圆+y=1有两个不同的交点,

2

所以Δ=-2b+2+ >0,①

将AB的中点M 代入直线方程y=mx+ ,解得 b=-

2

.②

由①②得m<- 或m> . (2)令t= ∈ -

∪ ,

则|AB|= · -

,

且O到直线AB的距离为d=设△AOB的面积为S(t),

.

所以S(t)= |AB|·d= - - ≤ . 当且仅当t=时,等号成立.

2

故△AOB面积的最大值为 .

5.(2015天津,19,14分)已知椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),离心率为 ,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x+y= 截得的线段的长为c,|FM|=(1)求直线FM的斜率;

2

2

.

(2)求椭圆的方程;

(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于 ,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围. 解析 (1)由已知有 = ,又由a=b+c,可得a=3c,b=2c.

2

2

2

2

2

2

2

设直线FM的斜率为k(k>0),则直线FM的方程为y=k(x+c).由已知,有

+ = ,解得k= .

(2)由(1)得椭圆方程为 + =1,直线FM的方程为y= (x+c),两个方程联立,消去y,整理得3x+2cx-5c=0,解得x=- c或x=c.因为点M在第一象限,可得M的坐标为 由|FM|=

2

2

.

- =

,解得c=1,

所以椭圆的方程为+=1.

(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,得t= ,即y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立得 - 222 消去y,整理得2x+3t(x+1)=6.又由已知,得t= > ,解得-

设直线OP的斜率为m,得m= ,即y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理可得m= - . ①当x∈ - - 时,有y=t(x+1)<0,因此m>0,于是m= - ,得m∈

2

. .

②当x∈(-1,0)时,有y=t(x+1)>0,因此m<0,于是m=- -,得m∈ - -综上,直线OP的斜率的取值范围是 - -

.

评析 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力以及用函数与方程思想解决问题的能力.

考点三 存在性问题

1.(2015北京,19,14分)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在

椭圆C上,直线PA交x轴于点M.

(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);

(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.

2解析 (1)由题意得 解得a=2.

故椭圆C的方程为+y=1.

2

设M(xM,0).

因为m≠0,所以-1

(2)因为点B与点A关于x轴对称,所以B(m,-n). 设N(xN,0),则xN=

-

.

“存在点Q(0,yQ)使得∠OQM=∠ONQ”等价于“存在点Q(0,yQ)使得 = ”,即yQ满足 =|xM||xN|.

因为xM= - ,xN= , +n=1,

所以 =|xM||xN|= =2.

-

2

所以yQ= 或yQ=- .

故在y轴上存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ. 点Q的坐标为(0, )或(0,- ).

2.(2014山东,21,14分)已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形. (1)求C的方程;

(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E, (i)证明直线AE过定点,并求出定点坐标;

(ii)△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由. 解析 (1)由题意知F . 设D(t,0)(t>0),则FD的中点为 因为|FA|=|FD|,

则由抛物线的定义知3+= - ,

2

.

解得t=3+p或t=-3(舍去). 由

=3,解得p=2.

2

所以抛物线C的方程为y=4x. (2)(i)由(1)知F(1,0),

设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0), 因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1, 由xD>0得xD=x0+2,故D(x0+2,0).

故直线AB的斜率kAB=- .

因为直线l1和直线AB平行, 所以可设直线l1的方程为y=- x+b,

代入抛物线方程得y+y-=0,

2

由Δ= + =0,得b=- .

设E(xE,yE),则yE=- ,xE= ,

当 ≠4时,kAE=

-

-

=-

- -

=,

可得直线AE的方程为y-y0=

由 =4x0,

-

(x-x0),

整理可得y=

-

(x-1),

直线AE恒过点F(1,0).

当 =4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0),

所以直线AE过定点F(1,0). (ii)由(i)知直线AE过焦点F(1,0),

所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+ =x0++2.

设直线AE的方程为x=my+1, 因为点A(x0,y0)在直线AE上,

故m= ,

-

设B(x1,y1),

直线AB的方程为y-y0=- (x-x0), 由y0≠0,

可得x=-y+2+x0,

代入抛物线方程得y+ y-8-4x0=0.

2

所以y0+y1=-,

可求得y1=-y0- ,x1= +x0+4,

所以点B到直线AE的距离为 d= -

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@)