工程力学习题集及部分解答指导-2

∑Fx = 0 FNA – FNB = 0 (1) FfB ∑Fy = 0 FfA + FfB – F = 0 (2) ∑MA(F)= 0 FNB

FfB b+ FNB a–F(b/2 + x)= 0 (3) FNA FfA = ?sFNA FfB = ?sFNB (4) 联立解得: x=a∕2?s ; FfA F 抽屉不被卡住的条件: F≥FfA + FfB , (a) 亦即 x ≤ a∕2?s 。

由上列式计算可知:FfA = ?sFNA = FfB 故A、B两点的摩擦力同时达到临界值。

方法二:几何法 选取抽屉为研究对象,画其临界平衡状态 b 下的受力图:因抽屉仅受三个力FRA、FRB、F 作用而平衡,故此三力作用线必汇交于一点C。 C 不难看出,A、B两点的摩擦力应相等(若不 相等,即使力F不偏心抽屉也会被卡住);所以 E B φ FRA、FRB必同时达到临界值,且与作用面的法 a FRB 向的夹角为摩擦角φ。如图(b)所示。 A D 几何关系: φ x tanφ=(a + CE)∕(b + x) (1) FRA F tanφ= CE ∕(b – x) (2) (b) 联立解得: x=a∕2?s ; 抽屉不被卡住的条件:

亦即 x ≤ a∕2?s 。

4-5、砖夹宽28cm,爪AHB和BCED在B点铰连,尺寸如图4-5所示。被提起砖的重力为W,提举力F作用在砖夹中心线上。已知砖夹与砖之间的静摩擦因数fs=0.5,问尺寸b应多大才能保证砖不滑掉? 解题提示

解析法考虑有摩擦时物系的平衡问题的方法 步骤与不考虑摩擦时的方法步骤大致相同;画各 研究对象时,一般考虑其临界平衡状态,即静摩 擦力达到最大值。

①分别取砖块、爪AHB为研究对象,画其临 界平衡状态下的受力图(a)、(b)。

FfA FfD 图4-5

FBx

FNA FND FBy

F′NA W (a) F′fA (b)

②列平衡方程并求解。 由图(a)

∑Fx = 0 FNA – FND = 0 (1)

∑Fy = 0 FfA + FfD – W = 0 (2) FfA = W/2 ∑MD(F)= 0 W×14- FfA×28= 0 (3) FNA = W/2fs FfA= fsFNA FFd= fsFND (4) 由图(b)

∑MD(F)= 0 4F+10 FfA - FNA b=0 (5) b=9cm 即b≤9cm时,能保证砖不滑掉。 (此题亦可用几何法求解。)

4-6、如图4-6所示,A、B两物的重力均为150N,与水平固定面的静摩擦因数均为fs=0.2,弹簧张力为200N,问使两物体同时开始向右滑动所需之最小力F之值?若已知固定面间距H=32cm,再问力F应作用于何处,即h=? 解:①分别取物A、物B及杆AB为研究对象, 画其临界平衡状态下的受力图(a)、(b)、(c)。

FNA FT F′A FfA h FA A FB B

WA WB F H FfB FT FNB F′B

(a) (b) (c) 图4-6 ②列平衡方程并求解。

由图(a) ∑Fx = 0 FA–FfA =0 ∑Fy = 0 FT - FNA – WA = 0 FNA= FT – WA=200-150=50N FfA = fs FNA FA=FfA = 0.2×50=10N 由图(b) ∑Fx = 0 FB–FfB =0 ∑Fy = 0 FNB –FT – WB = 0 FNB= FT + WB=200+150=350N FfA = fs FNA FB=FfB = 0.2×350=70N 由上计算可得:使两物体同时开始向右滑动所需之最小力F的值为

Fmin= F′A + F′B =80N 由图(c) ∑MA(F)= 0 Fh–FB H=0 h= FB H/h=70×32/80=28cm

4-7、A、B两物体的安置如图4-7所示。已知WA=150N, WB=450N,各平面间的静摩擦因数均为fs。试求使两物体静止不动 所需fs的最小值,并求A、B联绳的拉力FT。

解题分析: 显然此题宜采用“逐步拆开法”。

题求?s的最小值:需考虑各研究对象的临界 平衡状态,即各物体间的静摩擦力均为最大值; 该情况下,物B有沿斜面向下滑动的趋势;物A

有沿物B表面面向上滑动的趋势;画受力图时, 图4-7

要特别注意静摩擦力Ff的图示方向。

①分别选取物体A、B为研究对象,画其临界平衡状态下的受力图(a)、(b)。 y y WB WA FT x FNA FT x

FfA FfA α FNA α FfB FNB

(a)物体A (b)物体B ②列平衡方程并求解。

图(a) ∑Fx = 0 FT – FfA – WA sinα=0 (1) ∑Fy = 0 FNA –WA cosα =0 (2) FfA=?s FNA (3) FT = ?sWA cosα+ WA sinα (c)

图(b) ∑Fx = 0 FT + FfA + FfB – WB sinα=0 (4) ∑Fy = 0 FNB - FNA–WB cosα=0 (5) FfB=?s FNB (6) FT =WB sinα - ?s(2WA+WB)cosα (d) 联立(c)、(d)解得:

?s =(WB- WA)tanα ∕(3WA+WB)=1∕4=0.25 FT = WA(?s cosα+ sinα)=120N #

4-8*、图4-8所示为手动钢筋剪床,用来剪断直径为d的钢筋。设钢筋与剪刀间的静摩擦因数为fs,操作时为省力应使钢 筋位于l较小的位置;但l过小又会使钢筋打滑 而向左出。试求使钢筋不打滑的l最小值。 解题提示:此题采用几何法求解较适宜。 解:取直径为d的钢筋为研究对象,画其 临界平衡状态下的受力图(a)。 图4-8 因钢筋在A、B两点受全反力FRA、FRB FRB φ 作用而平衡,故FRA、FRB必沿AB连线,且 B 大小相等、方向相反;并均与A、B两点的 d O1 法向成摩擦角φ。 φ

由几何关系得: tanφ=d/2l= ?s A φ O 故使钢筋不打滑的l最小值为 l

lmin = d/2?s FRA φ (a)

4-9*、图4-9所示一直径为150cm的圆柱体,由于自重力作用而沿斜面匀速向下滚动。斜面的斜率为tanα=0.018,试求圆柱体与斜面摩间的滚动擦系数δ值。

解题提示

考虑与不考虑滚动摩擦时平衡问题的求解方法与步骤基本相同;所不同的是:在研究对象的受力图上再画上滚动摩擦力偶矩Mf,Mf的转向与物体相对滚

动(趋势)方向相反;且一般考虑 的是临界平衡状态:Mfmax=δFN。 ①取圆柱体为研究对象,画其 受力图(a)。

②列平衡方程并求解。

∑Fy = 0 FN –Wcosα =0 图4-9 ∑M A(F)=0 Wsinα d/2 - M fm=0 y

Mfm=δFN W

δ=tanα d/2=

=0.018×150/2=1.35mm Mfm x

F f

(a) FN

4-10*、如图4-10所示,为了使轮子A只能作逆时针的单向定轴转动,将一个重力可忽略不计的小圆柱放在轮子与墙间。 已知接触处B、C的静摩擦因数fs=0.3,轮子 到墙的距离a=225mm,轮子半径R=200mm。 现在轮子上施加一任意大小的顺时针转向的 力偶M,试确定能阻止轮子轮子转动圆柱体 的最大半径rmax。

解题提示:此题采用几何法求解较方便。 取小圆柱为研究对象,画其受力图(a)。 考虑其能阻止轮子转动的临界平衡状态,则 图4-10 小圆柱在B、C两点受力作用而平衡,故FRB、 FRC必沿BC连线,且分别与作用点的法向 摩擦角φ。亦即

由图中几何关系得: FRC

α=φ O C φ BC=2OBcosα=2r cosα=2r cosφ α φ D E CD=OE=rsin(α+φ)=r sin2φ FRB φ B BD=BC cosφ= =2r cos2φ

BD=a-AB cos(α+φ)= a-R cos2φ (a) 于是有:2r cos2φ= a-R cos2φ

r = (a-R cos2φ)/2cos2φ 由三角函数关系:

cos2φ=1/(1+ tan2φ)= 1/(1+ fs2)= 1/(1+ 0.32)=0.917 cos2φ=2 cos2φ-1=2×0.917-1=0.835 故有 rmin= (a-R cos2φ)/2cos2φ=(225-200×0.835)/(2×0.917)=31.6mm

4-11*、图4-11所示斜面夹紧机构中,若已知驱动力F、角度β和各接触面间的静摩擦因数fs,试求:

1)工作阻力FQ(其大小等于夹紧工件的力)与驱动力F的关系式;

2)除去F后不产生松动的条件。

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