十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学
专题07 解三角形
一、选择题
1.(2019·全国1·文T11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-,
则=( )
A.6 【答案】A
B.5 C.4 D.3
【解析】由已知及正弦定理,得a-b=4c, 由余弦定理的推论,得-=cos A=
,
222
∴=-,∴-=-,
∴×4=6,故选A.
2.(2018·全国2·理T6文T7)在△ABC中,cos ,BC=1,AC=5,则AB=( )
A.4 B. C. D.2
【答案】A
【解析】∵cos C=2cos-1=-,∴AB=BC+AC-2BC·ACcos C=1+25+2×1×5×=32.
2
2
2
2
∴AB=4.
3.(2018·全国3·理T 9文T 11)△ABC的内角A,B,C的对 边分别为a,b,c.若△ABC的面积为
,则C=( )
A. B.
C. D.
【答案】C 【解析】由S=
absin C,得c2=a2+b2-2absin C.又由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,
∴sin C=cos C,即C=.
4.(2017·山东·理T9)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 【答案】A
【解析】∵sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C, ∴sin B+2sin Bcos C=(sin Acos C+cos Asin C)+sin Acos C, ∴sin B+2sin Bcos C=sin B+sin Acos C, ∴2sin Bcos C=sin Acos C,
又△ABC为锐角三角形,∴2sin B=sin A, 由正弦定理,得a=2b.故选A.
5.(2017·全国1·文T11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=A.
,则C=( ) B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由题意结合三角形的内角和,可得sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,整理得sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,则sin C(sin A+cos A)=0,因为sin C>0,所以sin A+cos A=0,即tan A=-1,因为A∈(0,π),所以A=.由正弦定理
,得
,即sin C=,所以C=,故选B.
6.(2016·全国3·理T8)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=( )
A. B. C.- D.-
【答案】C
【解析】设BC边上的高为AD,则BC=3AD. 结合题意知BD=AD,DC=2AD, 所以AC=
由余弦定理,得cos A=
AD,AB=
AD.
==-,故选C.
7.(2016·全国3·文T9)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A=( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】记角A,B,C的对边分别为a,b,c, 则由题意,得S△ABC=a·
acsin B,
∴c=a.∴b=a+
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-2a·,即b=.由正弦定理,得sin A=.
故选D.
8.(2016·全国1·文T4)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=
,c=2,cos A=,则b= ( )
A. B. C.2 D.3
【答案】D
【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, 即5=b2+4-4b×,即3b2-8b-3=0,
又b>0,解得b=3,故选D.
9.(2016·天津·理T3)在△ABC中,若AB=A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A
【解析】由余弦定理得13=9+AC2+3AC,∴AC=1.故选A.
10.(2016·山东·文T8)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A=( ) A.
B.
C.
D.
,BC=3,∠C=120°,则AC=( )
【答案】C
【解析】由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A, 又因为b=c,
所以a2=b2+b2-2b×bcos A=2b2(1-cos A). 由已知a2=2b2(1-sin A),所以sin A=cos A. 因为A∈(0,π),所以A=.
11.(2015·广东·文T5)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=且b b=( ) A.3 【答案】C 【解析】由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2-6b+8=0,解得b=2或4.因为b ,则AC=( ) B.2 C.2 D. A.5 【答案】B B. C.2 D.1 【解析】由题意知S△ABC=AB·BC·sin B,