最新的初中数学竞赛几何讲座(共5讲)

初中数学竞赛几何讲座(共5讲)

第一讲 注意添加平行线证题 第二讲 巧添辅助 妙解竞赛题 第三讲 点共线、线共点 第四讲 四点共圆问题 第五讲 三角形的五心

第一讲 注意添加平行线证题

在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.

添加平行线证题,一般有如下四种情况.

1 为了改变角的位置

大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 设P、Q为线段BC上两点,且BP=CQ, ADA为BC外一动点(如图1).当点A运动到使 ∠BAP=∠CAQ时,△ABC是什么三角形?试 证明你的结论. BPQC答: 当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时,△ABC为等腰三角形. 图1证明:如图1,分别过点P、B作AC、AQ的平行线得交点D.连结DA.

在△DBP=∠AQC中,显然 ∠DBP=∠AQC,∠DPB=∠C. 由BP=CQ,可知 △DBP≌△AQC.

有DP=AC,∠BDP=∠QAC. 于是,DA∥BP,∠BAP=∠BDP.

则A、D、B、P四点共圆,且四边形ADBP为等腰梯形.故AB=DP. 所以AB=AC.

这里,通过作平行线,将∠QAC“平推”到∠BDP的位置.由于A、D、B、P四点共圆,使证明很顺畅.

例2 如图2,四边形ABCD为平行四边形, EP∠BAF=∠BCE.求证:∠EBA=∠ADE.

GDA证明:如图2,分别过点A、B作ED、EC

的平行线,得交点P,连PE.

BFC 由AB ∥ CD,易知△PBA≌△ECD.有

=图2PA=ED,PB=EC.

显然,四边形PBCE、PADE均为平行四边形.有 ∠BCE=∠BPE,∠APE=∠ADE.

由∠BAF=∠BCE,可知

∠BAF=∠BPE.

有P、B、A、E四点共圆. 于是,∠EBA=∠APE. 所以,∠EBA=∠ADE.

这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P、B、A、E四点共圆,紧密联系起来.∠APE成为∠EBA与∠ADE相等的媒介,证法很巧妙.

2 欲“送”线段到当处

利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.

例3 在△ABC中,BD、CE为角平分线,P为ED上任意一点.过P分别作AC、AB、BC的垂线,M、N、Q为垂足.求证:

PM+PN=PQ.

A证明:如图3,过点P作AB的平行线交BD

NM于F,过点F作BC的平行线分别交PQ、AC PED于K、G,连PG. FGK 由BD平行∠ABC,可知点F到AB、BC CBQ两边距离相等.有KQ=PN. 图3 显然,

EPEFCG==,可知PG∥EC. PDFDGD 由CE平分∠BCA,知GP平分∠FGA.有PK=PM.于是, PM+PN=PK+KQ=PQ.

这里,通过添加平行线,将PQ“掐开”成两段,证得PM=PK,就有PM+PN=PQ.证法非常简捷.

3 为了线段比的转化

由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的.

例4 设M1、M2是△ABC的BC边上的点,且BM1=CM2.任作一直线分别交AB、AC、AM1、AM2于P、Q、N1、N2.试证:

AM2ACAM1AB+=+. APAQAN1AN2证明:如图4,若PQ∥BC,易证结论成立. 若PQ与BC不平行,设PQ交直线BC 于D.过点A作PQ的平行线交直线BC于 E.

由BM1=CM2,可知BE+CE=M1E+ M2E,易知

APQN2M1M2CD图4N1EBABBEACCE=,=, APDEAQDE

MEAM2MEAM1=1,=2.

DEAN2DEAN1则

AM1AM2ACBE?CEM1E?M2EAB+===+. APDEDEAQAN1AN2AM2ACAM1AB+=+. APAQAN1AN2所以,

这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE,于是

问题迎刃而解.

例5 AD是△ABC的高线,K为AD上一点,BK交AC于E,CK交AB于F.求证:∠FDA=

QMPAN∠EDA.

证明:如图5,过点A作BC的平行线,分 FKE别交直线DE、DF、BE、CF于Q、P、 N、M.

显然,

BDKDDC==. ANKAAMBD图5C有BD·AM=DC·AN. (1)

APAFAM==,有 BDFBBCBD·AMAP=. (2)

BCAQAEAN由==,有

ECBCDCDC·ANAQ=. (3)

BC由

对比(1)、(2)、(3)有 AP=AQ.

显然AD为PQ的中垂线,故AD平分∠PDQ. 所以,∠FDA=∠EDA.

这里,原题并未涉及线段比,添加BC的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使AP与AQ的相等关系显现出来.

4 为了线段相等的传递

当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去.

例6 在△ABC中,AD是BC边上的中线,点M在AB边上,点N在AC边上,并且∠MDN=90°.如果BM2+CN2=DM2+DN2,求证:AD2=证明:如图6,过点B作AC的平行线交ND 延长线于E.连ME.

由BD=DC,可知ED=DN.有

BE1(AB2+AC2). 4AMD图6NC△BED≌△CND. 于是,BE=NC.

显然,MD为EN的中垂线.有 EM=MN.

由BM2+BE2=BM2+NC2=MD2+DN2=MN2=EM2,可知△BEM为直角三角形,∠MBE=90°.有

∠ABC+∠ACB

=∠ABC+∠EBC=90°. 于是,∠BAC=90°.

1?1? 所以,AD2=?BC?=(AB2+AC2).

4?2? 这里,添加AC的平行线,将BC的以D为中点的性质传递给EN,使解题找到出路.

C例7 如图7,AB为半圆直径,D为AB上一点, FE分别在半圆上取点E、F,使EA=DA,FB=DB.

过D作AB的垂线,交半圆于C.求证:CD平

A分EF. BGDOH证明:如图7,分别过点E、F作AB的垂线,G、H为垂足,连图7FA、EB.易知 DB2=FB2=AB·HB, AD2=AE2=AG·AB. 二式相减,得

DB2-AD2=AB·(HB-AG),

或 (DB-AD)·AB=AB·(HB-AG).

于是,DB-AD=HB-AG, 或 DB-HB=AD-AG. 就是DH=GD.

显然,EG∥CD∥FH. 故CD平分EF.

这里,为证明CD平分EF,想到可先证CD平分GH.为此添加CD的两条平行线EG、FH,从而得到G、H两点.证明很精彩.

经过一点的若干直线称为一组直线束.

一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等. 如图8,三直线AB、AN、AC构成一组直线束,DE是与BC平行的直线.于是,有

2DMAM= BNANME =,

NCMEDMBNDM即 =或=.

BNMENCNC

此式表明,DM=ME的充要条件是 BN=NC.

利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮. 例8 如图9,ABCD为四边形,两组对边延长 A后得交点E、F,对角线BD∥EF,AC的延长

MEBCG图9ADMBN图8CEDNF

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