解：应用常数变易法，令
x?c1(t)cost?c2(t)sint
''将它代入方程，则可得决定c1(t)和c2(t)的两个方程：
?(t)?sintc2?(t)?0 costc1?(t)?costc2?(t)??sintc1?(t)??解得 c11 costsint?(t)?1 c2cost由此 c1(t)?lncost??1 c2(t)?t??2 于是原方程的通解为
x??1cost??2sint?costlncost?tsint
其中?1，?2为任意常数。
例4 求方程tx???x??t2于域t?0上的所有解。 解：对应的齐线性方程为tx???x??0
容易直接积分求得它的基本解组。事实上，将方程改写为
x??1? x?t积分即得x??At。所以x?12At?B，这里A，B为任意常数。易见有基本解组1，2t2。为应用上面的结论，我们将方程改写为
1x???x??t
t''并以x?c1(t)?c2(t)t2代入，可得决定c1(t)和c2(t)的两个方程
?(t)?t ?(t)?t2c2?(t)?0及2tc2c1于是 c2(t)?11t??2 c1(t)??t3??1 26故得原方程的通解为
1x??1??2t2?t3
3这里?1，?2为任意常数。根据定理7，它包括了方程的所有解。
§4.2 常系数线性方程的解法
讨论常系数线性方程的解法时，需要涉及实变量的复值函数及复指数函数的问题，我们在4.2.1中预先给以介绍。 4.2.1 复值函数与复值解
如果对于区间a?t?b中的每一实数t，有复数z(t)??(t)?i?(t)与它对应，其中?(t)和?(t)是区间a?t?b上定义的实函数，i是虚数单位，我们就说在区间a?t?b上给定了一个复值函数z(t)。如果实函数?(t)，?(t)当t趋于t0时有极限，我们就称复值函数z(t)当t趋于t0时有极限，并且定义
limz(t)?lim?(t)?ilim?(t)
t?t0t?t0t?t0如果limz(t)?z(t0)，我们就称z(t)在t0连续。显然，z(t)在t0连续相当于?(t)、
t?t0?(t)在t0连续。当z(t)在区间a?t?b上每一点都连续时，就称z(t)在区间a?t?bz(t)?z(t0)上连续。如果极限lim存在，就称z(t)在t0有导数（可微）。且记此极限为
t?t0t?t0dz(t0)或者z?(t0)。显然z(t)在t0处有导数相当于?(t)、?(t)在t0处有导数，且 dtdz(t0)d?(t0)d?(t0)??i dtdtdt如果z(t)在区间a?t?b上每点都有导数，就称z(t)在区间a?t?b上有导数。对于高阶导数可以类似地定义。
设z1(t),z2(t)是定义在a?t?b上的可微函数，c是复值常数，容易验证下列等式成立：
dz(t1)dz(t2)dz(t)?z(t)?? ?1?2dtdtdtdz(t)d?cz1(t)??c1 dtdtdz(t)dz(t)d?z1(t)?z2(t)??1?z2(t)?z1(t)?2 dtdtdt在讨论常系数线性方程时，函数eKt将起着重要的作用，这里K是复值常数，我们现在给出它的定义，并且讨论它的简单性质。
设K???i?是任一复数，这里?,?是实数，而t为实变量，我们定义
eKt?e(??i?)t?e?t(cos?t?isin?t)
有上述定义立即推得
cos?t?1i?t1(e?e?i?t) sin?t?(ei?t?e?i?t) 22i并且用K???i?表示复数K???i?的共轭复数。
此外，还可容易证明函数eKt具有下面的重要性质：
e(K1?K2)t?eK1t?eK2t
deKt?KeKt，其中t为实变量 dtdnKtnKt(e)?Ke ndt由此可见，实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求导公式完全类似，而复指数函数具有与实指数函数完全类似的性质。
现在我们引进线性方程的复值解的定义。定义于区间a?t?b上的实变量复值函数x?z(t)称为方程（4.1）的复值解，如果
dnz(t)dn?1z(t)dz(t)?a(t)???a(t)?an(t)z(t)?f(t) 1n?1dtndtn?1dt对于a?t?b恒成立。
定理8 如果方程（4.2）中所有系数ai(t)(i?1,2,?,n)都是实值函数，而
x?z(t)??(t)?i?(t)是方程的复值解，则z(t)的实部?(t)、虚部?(t)和共轭复值函
数z(t)也都是方程（4.2）的解。
dnxdn?1xdx?a(t)x?u(t)?iv(t)有复值解定理9 若方程n?a1(t)n?1???an?1(t)dtdtdtnx?U(t)?iV(t)，这里ai(t)(i?1,2,?,n)及u(t)，v(t)都是实函数，那么这个解的实
部U(t)和虚部V(t)分别是方程
dnxdn?1xdx?a(t)???a(t)?an(t)x?u(t) 1n?1nn?1dtdtdtdnxdn?1xdx?an(t)x?v(t) 的解。 和 n?a1(t)n?1???an?1(t)dtdtdt4.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程
为了书写上的方便引入下述符号：
L[y]?y(n)?p1(x)y(n?1)???pn?1(x)y??pn(x)y
并把L称为线性微分算子.把算子作用于函数y上时，就是指对y施加上式右端的微分运算.
关于算子有以下两个性质：
1)常数因子可以提到算子符号外面：L[ky]?kL[y]
证明：实际上L[ky]?[ky](n)?p1(x)[ky](n?1)???pn?1(x)[ky]??pn(x)[ky] =kyn?kp1(x)yn?1???kpn?1(x)y'?kpn(x)y
=k[yn?p1(x)yn?1???pn?1(x)y'?pn(x)y]
=kL[y]
2)算子作用于两个函数和的结果等于算子分别作用于各个函数的结果之和：
L[y1?y2]?L[y1]?L[y2]
证明：
L[y1?y2]?[y1?y2]n?p1(x)[y1?y2]n?1???pn?1(x)[y1?y2]'?pn(x)[y1?y2] =y1?p1(x)y1nnn?1???pn?1(x)y1?pn(x)y1+ ???pn?1(x)y2?pn(x)y2
'' y2?p1(x)y2n?1 =L[y1]?L[y2]
设齐线性方程中所有系数都是常数，即方程有如下形状
dnxdn?1xdxL?x??n?a1n?1???an?1?ax?0 （4.19）
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