常微分方程考研讲义第四章 高阶微分方程

?2B?3A?3Bt?3t?1

比较系数得

??3B?3 ???2B?3A?1由此得B??1,A?

11???t,因此,原方程的通解为 ,从而x331 3x?c1e3t?c2e?t?t?其中c1,c2是任意常数。

d2xdx?3x?e?t的通解。 例8 求方程2?2dtdt解 从上例知道对应的齐线性方程的通解为

x?c1e3t?c2e?t

其中c1,c2是任意常数。现求原方程的一个特解。这里f(t)?e?t,因为???1刚好是

??Ate?t,将它代入原方程得到?4Ae?t?e?t,从而特征方程的单根,故有特解形如x11???te?t,而原方程的通解为 A??,于是x441x?c1e3t?c2e?t?te?t

4其中c1,c2是任意常数。

d3xd2xdx例9 求3?32?3?x?e?t(t?5)的通解。

dtdtdt解特征方程?3?3?2?3??1?(??1)3?0有三重根?1,2,3??1,故有形状为

??t3(A?Bt)e?t的特解,将它代入方程得 x(6A?24Bt)e?t?e?t(t?5)

比较系数求得A??5113??t(t?20)e?t。故方程的通解为 ,B?。从而x6242413t(t?20)e?t 24x?(c1?c2t?c3t2)e?t?其中c1,c2,c3是任意常数.

类型Ⅱ

设f(t)??A(t)cos?t?B(t)sin?t?e?t,其中?,?为常数,而A(t),B(t)是带实系数的t的多项式,其中一个的次数为m,而另一个的次数不超过m,那么我们有如下结论:方程(4.32)有形如

??tk?P(t)cos?t?Q(t)sin?t?e?t (4.38) x的特解,这里k为特征方程F(?)?0的根??i?的重数,而P(t),Q(t)均为待定的带实系数的次数不高于m的t的多项式,可以通过比较系数的方法来确定。

事实上,回顾一下类型Ⅰ的讨论过程,易见当?不是实数,而是复数时,有关结论仍然正确。现将f(t)表为指数形式

f(t)?A(t)?iB(t)(??i?)tA(t)?iB(t)(??i?)te?e 22根据非齐线性方程的叠加原理(见习题4.1)方程

L?x??f1(t)?与

A(t)?iB(t)(??i?)te 2L?x??f2(t)?的解之和必为方程(4.32)的解。

A(t)?iB(t)(??i?)te 2注意到f1(t)?f2(t),易知,若x1为L?x??f1(t)的解,则x必为L?x??f2(t)的解。因此,直接利用类型Ⅰ的结果,可知方程(4.32)有解形如

??tkD(t)e(??i?)t?tkD(t)e(??i?)t?tk?P(t)cos?t?Q(t)sin?t?e?t x其中D(t)为t的m次多项式,而P(t)?2Re?D(t)?,Q(t)?2Im?D(t)?。

显然,P(t),Q(t)为带实系数的t的多项式,其次数不高于m1,可见上述结论成立。

d2xdx?4x?cos2t的通解。 例10 求方程2?4dtdt解 特征方程?2?4??4?0有重根?1??2??2,因此,对应齐线性方程的通解为

x?(c1?c2t)e?2t

其中c1,c2为任意常数。现求非齐线性方程的一个特解。因为?2i不是特征根,我们求

??Acos2t?Bsin2t的特解,将它代入原方程并化简得到 形如x8Bcos2t?8Asin2t?cos2t

比较同类项系数得A?0,B?11??sin2t,因此原方程的通解为 ,从而x881x?(c1?c2t)e?2t?sin2t

8附注:类型Ⅱ的特殊情形

f(t)?A(t)e?tcos?t或f(t)?B(t)e?tsin?t

可用另一更简便的方法——所谓复数法求解。下面用例子具体说明解题过程。 例11 用复数法解例10。

解 由例10已知对应齐线性方程的通解为

x?(c1?c2t)e?2t

为求非齐线性方程的一个特解,我们先求方程

d2xdx2it?4?4x?e 2dtdt的特解。这属于类型Ⅰ,而2i不是特征根,故可设特解为

??Ae2it x将它代入方程并消去因子e2it得8iA?1,因而A??。

i8ii11???e2it??cos2t?sin2t,分出它的实部Re?x???sin2t,根据定理9这就是x8888原方程的特解,于是原方程的通解为

1x?(c1?c2t)e?2t?sin2t

8与例10所得结果相同。 (二)拉普拉斯变换法

常系数线性微分方程(组)还可以应用拉普拉斯变换法进行求解,这往往比较简便。

由积分

F(s)??e?stf(t)dt

0?所定义的确定与复平面(Res??)上的复变数s的函数F(s),称为函数f(t)的拉普拉斯变换,其中f(t)于t?0有定义,且满足不等式

f(t)?Me?t

这里M,?为某两个正常数。我们将称f(t)为原函数,而F(s)称为象函数。

这里我们简单地介绍拉普拉斯变换在解常系数线性方程中的应用。 设给定微分方程

dnxdn?1x?a1n?1???anx?f(t) (4.32) dtndt及初始条件

(n?1)?,…,x(n?1)(0)?x0 x(0)?x0,x?(0)?x0其中a1,a2,?,an是常数,而f(t)连续且满足原函数的条件。

可以证明,如果x(t)是方程(4.32)的任意解,则x(t)及其各阶导数

x(k)(t)(k?1,2,?,n)均是原函数。记

F(s)?L?f(t)???e?stf(t)dt

0?X(s)?L?x(t)???e?stf(t)dt

0?那么,按原函数微分性质有

L?x?(t)??sX(s)?x0 ??????

(n)nn?1n?2(n?1)??L?x(t)?sX(s)?sx?sx???x 000??于是,对方程(4.32)两端施行拉普拉斯变换,并利用线性性质就得到

(n?2)(n?1)????sx0snX(s)?sn?1x0?sn?2x0?x0n?1n?2n?3(n?2)???a1?sX(s)?sx?sx???x000??

?????an?1?sX(s)?x0??anX(s)?F(s)

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