高等代数习题

高等代数习题 第一章 基本概念

§1.1 集合

1、设Z是一切整数的集合,X是一切不等于零的有理数的集合.Z是不是X的子集? 2、设a是集A的一个元素。记号{a}表示什么? {a} A是否正确? 3、设

写出 和 .

4、写出含有四个元素的集合{ }的一切子集.

5、设A是含有n个元素的集合.A中含有k个元素的子集共有多少个? 6、下列论断那些是对的,那些是错的?错的举出反例,并且进行改正.

(i)(ii)(iii)(iv)

7.证明下列等式:

(i)

1

(ii)

(iii)

§1.2 映射

1、设A是前100个正整数所成的集合.找一个A到自身的映射,但不是满射. 2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射. 3、

是不是全体实数集到自身的映射?

4.设f定义如下:

f是不是R到R的映射?是不是单射?是不是满射?

5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射? 6、设a ,b是任意两个实数且a

7、举例说明,对于一个集合A到自身的两个映射f和g来说,fg与gf一般不相等。

8、设A是全体正实数所成的集合。令

(i)g是不是A到A的双射? (ii)g是不是f的逆映射?

(iii)如果g有逆映射,g的逆映射是什么?

2

9、设 是映射,又令 ,证明

(i)如果 是单射,那么 也是单射;

(ii)如果 是满射,那么 也是满射;

(iii)如果 都是双射,那么 也是双射,并且

10.判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算: 1 2 3 4 集 合 A 全体整数 全体整数 全体有理数 全体实数 规 则 (a,b)|?a?b §1.3数学归纳法

1、证明:

2、设是一个正整数.证明 , 是任意自然数.

3、证明二项式定理:

这里

是 个元素中取 个的组合数.

3

4、证明第二数学归纳法原理.

5、证明,含有 个元素的集合的一切子集的个数等于

§1.4 整数的一些整除性质

1、对于下列的整数 ,分别求出以 除 所得的商和余数:

; ;

2、设

; .

是整数且不全为0,而

.

, , .证明, 的一

个最大公因数必要且只要

3、设数:

是不等于零的整数.满足下列两个条件的正整数;

如果

,则

.

叫做与的最小公倍

证明: 任意两个不等于零的整数 都有唯一的最小公倍数;

4、设 或

令 是 与 的最小公倍数而 ,则 .

是一个大于1的整数且具有以下性质:对于任意整数 .证明,

是一个素数(定理1.4.5的逆命题).

,如果 ,则

5、设是两两不相同的素数,而 .

证明

;

4

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