复变函数与积分变换习题解答

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若:若:

a?ba?b22,则Z的轨迹为圆,圆心在-a,半径为,无意义

a?b2 y (1,1) 2.用复参数方程表示曲线,连接1?i与?1?4i直线段。 解:z?(1?i)?[(?1?4i)?(1?i)]t 则z?(1?i)?(2?5i)t0 0?t?1

(-1,-4) (0?t?)

3.描出下列不等式所确定和区域与闭区域,并指明它是有界的还是无界的?是单连域还是多连域?并标出区域边界的方向。

(1)解:由

z?1,Rez?12

y z?122x?y?1 ,得

Rez?11x?2,得2

0 有界,单连域

2(2)Rez?1

y 解:令 z?x?iy

222Rez?1?x?y?1 由

22 即:y?x?1

x -1 0 0 1 无界,单连域

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复变函数与积分变换习题解答 z?1?2z?1(3) y 54(x?)2?y2?()233 解:令z?x?iy 则:无界,多连域 3/5 x 4.对于函数??f(z)?iz,D:Imz?0,描出当z在区域D内变化时,w的变化范围。 解:令z?x?iy

则w?f(z)?iz?i(x?iy)??y?ix ?Imz?0,则y?0 ?Rew??y?0,

?w的变化范围在第2,3象限,但不包括虚轴

0 u v Rez5.试证z?0z不存在。

limxRezlimlimx?0x?iyz?0z 证:=y?0

1 令y?kx 则:上述极限为1?ki不确定,因而极限不存在。

*6.思考题

(1)怎样理解复变函数w?f(z)? 答:设w?u?iv,z?x?iy,则w?f(z)就是 u?iv?f(x?iy)?u(x,y)?iv(x,y)

?u?u(x,y)?v?v(x,y) 因此,一个复变函数f(z)与两个实变函数u(x,y)和v(x,y)相对应,从即 ?几何意义上来说,复变函数可以看作是z平面上的点集D到w平面上的点集G上的映射。

(2)设复变函数f(z)当z?z0时的极限存在,此极限值与z趋于z0所采取的方式(取的路径)有无关系?

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答:没有关系,z以任意方式趋于z0时,极限值都是相同的,反过来说,若令z沿两条不同的曲线趋于z0时极限值不相等,则说明f(z)在z0没有极限,这与高等数学中的情形是类似的,只是一元实函数中,x只能从左、右以任何方式趋于x0,而这里可以从四面八方任意趋于z0。

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练 习 三

1.用导数定义,求f(z)?zRez的导数。

解:?z?0limf(z??z)?f(z)(z??z)Re(z??z)?zRez?lim?z?0?z?z

zRe?z??zRez??zRe?zRe?z?lim(Rez?Re?z?z)?z?0?z?0?z?zRe?z?x?lim(Rez?)?lim(Rez?z?)?z?0?x?0?z?x?i?y?y?0?lim

当z?0时,导数不存在, 当z?0时,导数为0。

2.下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析?

(1)

f(z)?1z

f(z)?解:

1zxy?2?2?i2?u(x,y)?iv(x,y)2zx?iyx?yz

y2?x2ux?2(x?y2)2?2xyvx?2(x?y2)2uy??2xy(x2?y2)2x2?y2vy?2(x?y2)2

当且仅当x?y时, f(z)满足C?R条件,故当x?y时f(z)可导,但在复平面不解析。

3223f(z)?x?3xy?i(3xy?y) (2)

解:令f(z)?u(x,y)?iv(xy)

ux?3x2?3y2 则

vx??6xyvy?3x2?3y2

uy?6xy因f(z)在复平面上处处满足C?R条件,且偏导数连续,故f(z)可导且解析。 3.设my?nxy?i(x?lxy)为解析函数,试确定l,m,n的值。 解:由C?R条件可知: 2nxy?2lxy

3232所以 n?l

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