复变函数与积分变换习题解答

复变函数与积分变换习题解答

22223my?nx??3x?ly 又

所以 3m??l,且n??3

?m?1?n?l??3 即 ?4.设f(z)在区域D内解析,试证明在D内下列条件是彼此等价的。 (1)f(z)=常数; (2)f?(z)?0; (3)Ref(z)?常数

f(z)?常数。

(2)Imf(z)?常数; (5)f(z)解析; (6)

证:由于f(z)在且域D内解析,则可得C?R方程成立,即

?u?v?u?v????x?y且?y?x

1)→2)由f(z)?c则f?(z)?c??0在D内成立,故(2)显然成立,

f?(z)?2)→3)由

?u?v?v?u?u?u?i??i?0???0?u(x,y)?x?x?y?y?x?y是常数

即 Ref(z)?常数

??v?0????y???v(x,y)?u?u??v?0????0??x?y3)→4) u?常数 由C?R条件 ??x是常数

?Imf(z)?常数

4)→5)若Imf(z)?c,f(z)?u?ic,f(z)?u?ic1,因f(z)在D内解析

??u?v?c???0,?x?y?y?u?v?c?????0?y?x?x

?u?(?c)?,?y 即 ?x?u?(?c)???y?x一阶偏导连续且满足C?R条件?f(z)在D内解析。

5)→6) f(z)?u?iv,g(z)?f(z)?u?iv 因g(z)解析,则由C?R条件

?u?v??,?x?y

?u?v???y?x, 对f(z)在D内解析,

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复变函数与积分变换习题解答

??u?v??0?v为常数??y?x??u?v?u?v???,??????f(z)?u?v?x?y?y?x???0?v为常数????y?x为常数

6)→1)

f(z)?常数

?f(z)2=常数,令u?v?c

22分别对x,y求偏导数得

?u??u?22?uu?v?0(u?v)?0??x??y?x??????v?u?u?u?0?(u2?v2)?u?0??y??y???x

22 若u?v?0 则u?v?0,f(z)?0,因而得证

?u?u?v?v?i?0??0,?v22?y 若u?v?0,则?x,故u?常数,由C?R条件?x?y为常数

?f(z)?常数 *5.思考题:

zz(1)复变函数f(z)在一点0可导与在0解析有什么区别?

答:f(z)在

z0解析则必在z0可导,反之不对。这是因为f(z)在z0解析,不但要求f(z)在

z0可导,而且要求f(z)在z0的某个邻域内可导,因此,f(z)在z0解析比f(z)在z0可导的

要求高得多,如

f(z)?z2在

z0=0处可导,但在z0?0处不解析。

(2)函数f(z)在区域D内解析与f(z)在区域D内可导有无区别? 答:无,(两者等价)。

(3)用C?R条件判断f(z)?u(x,y)?iv(x,y)解析时应注意些什么? 答:u(x,y),v(x,y)是否可微。

(4)判断复变函数的可导性或解析性一般有哪些方法。

答:一是定义。二是充要条件。三是可导(解析)函数的和、差、积、商与复合仍可导(解析)函数。

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练 习 四

1.由下列条件求解析函数f(z)?u?iv: (1)u?2(x?1)y,f(2)??i

u?vy 解:由f(z)解析可知:x则 所以

uy??vx 而

ux?2yuy?2(x?1)

vx??uy??2(x?1),vy?ux?2yv(x,y)??vydy??2ydy?y2??(x)

2?2(x?1)?vx???(x) ??(x)???2(x?1)dx??(x?1)?c

由f(2)??i可知c?0

?f(z)?2(x?1)y?i(y2?x2?2x?1)

yv?arctg,x?0.x(2) yvyvx??22x?y 解:因

??xx2?y2由f(z)解析

xuyux?vy?22x?y 可知:

u(x,y)??uxdx??uy?y??vx?2x?y2

x1dx?ln(x2?y2)??(y)222x?y

yy1???(y)??u(x,y)?ln(x2?y2)?c2222x?yx?y 2

f(z)?1yln(x2?y2)?c?iarctg2x

pxv?esiny,求p的值使v为调和函数,并求出解析函数f(z)?u?iv。 2.设

2pxpx?v?vxx?vyy?0pesiny?esiny?0 v(x,y)解:要使为调和函数,有:,即:

?p??1时,v为调和函数,要使f(z)解析,则ux?vy,uy??vx

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u(x,y)??uxdx??vydy??epxcosydx?uy?1pxesiny???(y)??pepxsinyp

11?p)epxsiny??(y)?(p?)epxcosy?cpp

1pxecosy??(y)p

???(y)?(xz??e(cosy?isiny)?c?e?cp?1?f(z)???xpx?e(cosy?isiny)?c??e?z?cp??1u(x,y)?pecosy?c?即:

3.如果f(z)?u?iv为解析函数,试证?u是v的共轭调和函数。

?u?0,?v?0,ux?vy,uy??vx证:因f(z)解析,有:

所以,u,v均为调和函数, 且?u亦为调和函数

?(?u)?v??u?xy??y???v?u??(?u)yx??x?

故?u是v的共轭调和函数

4.如果f(z)?u?iv是一解函数,试证:if(z)也是解析函数。

u?vy,uy??vx证:因f(z)解析,则x 且u,v均可微,从而?u也可微。

而 if(z)?v?iu?v?i(?u)

可知:

vx??uy?vy??ux??(?u)?y ?(?u)?x

即满足C?R条件 ?if(z)也是解析函数。 5.试解方程: (1)e?1?3i

z 12

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