王进明 初等数论 习题解答

解:因为(18, 21)=3, 3|8-5,所以??x?5(mod18),?x?5(mod18),有解;(18, 35)=1, 所以??x?8(mod21).?x?a(mod35).?x?a(mod35),有解。

?x?8(mod21).总是有解。因此,要使题设的同余方程组有解,只需?而这里,(21, 35)=7,由定理可知,只需a≡8≡1(mod 7). 即x = 1+7t ( t为整数 ),题设的同余方程组总有解。 3.解下列同余方程组:(1) ??x?3(mod7),?x?6(mod13),, (2) ?

?x?5(mod11).?x?7(mod24).?2x?4(mod8), ?15x?5(mod35).?(4) ??5x?7(mod11), (5)

6x?9?0(mod19).?解:(1)方法一:设x=5+11y, 代入第一个同余方程,得11y≡3-5 (mod 7),

得y≡3 (mod 7) 所以同余方程组的解是x≡38 (mod 77)。 方法二:用孙子定理解,M=77,M1=11,M2= 7, 令11 M1′≡1(mod 7), 得M1′≡2(mod 7), 7 M2′≡1(mod 11),得M2′≡-3(mod 11),

所以同余方程组的解是x≡11×2×3 + 7×(-3)×5≡-39≡38 (mod 77). (2) 方法一:设x=7+24y, 代入第一个同余方程,得24y≡6-7 (mod 13), 得y≡7 (mod 13) 所以同余方程组的解是x≡7+24×7≡175 (mod 312)。 方法二:用孙子定理解,M=312,M1=24,M2= 13, 令24 M1′≡1(mod 13), 得M1′≡6≡-7 (mod 13), 13 M2′≡1(mod 24),得M2′≡13(mod 24),

所以同余方程组的解是x≡24×(-7)×6 + 13×13×7≡-1008+1183≡175 (mod 312).

第4题(1) (3) (4).

5..解下列同余方程组: (1) x≡8(mod 15), (2) x≡6(mod 11),

x≡3(mod 10), x≡3(mod 8), x≡1(mod 8); x≡11(mod 20); (3) x≡2(mod 35), (4) 4x≡90(mod 105),

x≡9(mod 14), 5x≡18(mod 63), x≡7(mod 20); 7x≡10(mod 50),

3x≡12(mod 22)

?x ? 2 ?解:(1)化为?x ? 3 ??x ?1?mod 3?,?mod 5?,用孙子定理解,M=120,M1=40,M2=24,M3=15, ?mod 8?.令40 M1′≡1(mod 3), 得M1′≡1 (mod 3);

24 M2′≡1(mod 5), 得-M2′≡1(mod 5),M2′≡-1(mod 5); 15 M3′≡1(mod 8), 得-M2′≡1(mod 8),M2′≡-1(mod 8)

所以同余方程组的解是x≡40×2 + 24× (-1)×3 +15×(-1)×1 ≡ -7(mod 120).

?x ? 2 ?(3)化为?x ? 9 ??x ?3?mod 35?, ?,?mod1?mod 4?.??x ? 2 即??x ?3??mod 35?,

?mod 4?.用孙子定理解,M=140,M1=4,M2=35, 令4 M1′≡1(mod 35), 得M1′≡9 (mod 35);

35 M2′≡1(mod 4), 得-M2′≡1(mod 4),M2′≡-1(mod 4);

所以同余方程组的解是x≡4×9×2 + 35× (-1)×3 ≡ -33 ≡ 107 (mod 140).

6. 解我国古代数学家杨辉在 1275 年所写的《续古摘奇算法》中的三个例题: (1)七数剩一,八数剩一,九数剩三,问本数;

(2)十一数余三,十二数余二,十三数余一,问本数; (3)二数余一,五数余二,七数余三,九数余四,问本数.

??x ? 1 解:(1)???x ?3?mod 56?,

?mod 9?.方法一:设x=1+56y, 代入第二个同余方程,得

56y ≡ 3-1 (mod 13),(56-54)y ≡ 2 (mod 13)

得y ≡ 1 (mod 13) y,所以,同余方程组的解是x≡57 (mod 504)。 方法二:用孙子定理解。

?x ? 3 ?(2)?x ? 2 ??x ?1 ?,?mod11 ?,用孙子定理解,M=1716,M1=156,M2=143,M3=132, ?mod12 ?.?mod13令156 M1′≡1(mod 11), 得2M1′≡12(mod 11),M1′≡6(mod 11);

143 M2′≡1(mod 12), 得-M2′≡1(mod 12),M2′≡-1(mod 12); 132 M3′≡1(mod 13), 得2M2′≡-12(mod 13),M2′≡-6(mod 13)

所以同余方程组的解是x≡156×6×3 + 143× (-1)×2 +132×(-6)×1 ≡ 14(mod 17). 法二:观察法。或累加试除法。

7. 设韩信所辖某部士兵共 26641人,在一次战斗中损失近百人. 休整时清查:1~3报数余 1,1~5报数余 3,1~ 7报数余 4. 问损失了多少人?

?x ? 1 ?mod 3?,??x ? 3 ?mod 5?,解:设还有士兵x人,由题设,得同余方程组?

?x ?4?mod 7?,?26541?x ?26600.?

由口诀,x≡70 + 21×3 + 15×4≡193+105×251≡ 26548 (mod 105) 26641-26548=93人。损失了93人。

?26641?x ? 1 ??26641?x ? 3 设损失了x人,得同余方程组??26641?x ?4?0?x ?100.??x ? 0 ?mod 3?,?mod 3?,?mod 5,???x ? 3 ?mod 5?,化为?

?mod 7?,?x ?2?mod 7?,?0?x ?100.?由口诀,x=21×3 + 15×2=93。损失了93人。

8. 求 7的倍数,使它分别被 2,3,4,5,6除时,余数都是 1.

解:设所求为7x, [2,3,4,5,6] =60,由题设,得7x ? 1 ?mod 60?,

用大衍求一术得x≡43 (mod 60), 7x=7×43=301, 故,所求为301+420t , t 为整数。 9. 求三个连续的自然数,使它们从小到大依次被 15,17,19 整除(写出其中最小的一组).

??15x?1 ? 0 解:由题设,得同余方程组???15x ?2?0 ?, ?,??mod17?x ? 9 ?mod17化为标准形式为? ?. ?.?mod19??x ?10?mod19用孙子定理解,M=321,M1=19,M2=17,

令19 M1′≡1(mod 17), 得M1′≡9(mod 17), 17 M2′≡1(mod 19), 得M2′≡9(mod 19),

所以同余方程组的解是x≡19×(-8)×9 + 17×9×10 ≡ 162 (mod 321). 本题所求的三个连续的自然数是162×15,162×15+1,162×15+2,即2430,2431,2432。

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